Convergence non monotone dans le problème de virgule fixe

Contexte

Je résous une variante de l' équation d' Ornstein-Zernike de la théorie des liquides. Résumé: Le problème peut être représenté comme résolvant le problème de point fixe , où est un opérateur intégro-algébrique et est la fonction de solution (la fonction de corrélation directe OZ). Je résout par itération Picard, où je fournis une solution d'essai initiale et génère de nouvelles solutions d'essai par le schéma où \ alpha est un paramètre réglable qui contrôle le mélange de c et AcA c ( r ) c 0 ( r ) c j + 1 = α ( A c j ) + ( 1 - α ) c j , α c A $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$utilisé dans la prochaine solution d'essai. Pour cette discussion, supposons que la valeur de $\alpha$ est sans importance. Je répète jusqu'à ce que l'itération converge à l'intérieur d'une tolérance souhaitée, $\epsilon$ : $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ Dans ma variante du problème, $A$ dépend d'un paramètre $\lambda$ , et ma question est de savoir comment la convergence de $Ac=c$ dépend de ce paramètre.

Pour une large gamme de valeurs pour $\lambda$ , le schéma d'itération ci-dessus converge exponentiellement rapidement. Cependant, à mesure que je diminue $\lambda$ , j'atteins finalement un régime dans lequel la convergence n'est pas monotone, comme illustré ci-dessous.

Questions clés

Dans les solutions itératives aux problèmes de virgule fixe, la convergence non monotone a-t-elle une signification particulière? Signifie-t-il que mon schéma itératif est au bord de l'instabilité? Plus important encore , la convergence non monotone devrait-elle me faire soupçonner que la solution "convergente" n'est pas une bonne solution au problème de virgule fixe?

Supposons que soit la variable indépendante inconnue dans la solution de , alors la méthode du point fixe convergera à partir d'un point condition que le Jacobien , où est une constante . En général, n'est pas un point unique, mais le domaine traversé par le schéma itératif.$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. Votre solution est convergente, mais non de façon monotone. Vérifiez votre Jacobien pour les différentes valeurs de et la variable solution pour voir si vous passez de la satisfaction des critères de convergence à la non-satisfaction, ce qui pourrait expliquer ce que vous voyez.$\lambda$

2. Si votre solution a convergé dans une tolérance relative correctement établie qui tient également compte des petits nombres, alors elle a réussi.