Comment puis-je dériver une limite sur les oscillations parasites dans la solution numérique de l'équation d'advection 1D?

Supposons que j'ai eu le problème d'advection périodique 1D suivant:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ in u ( 0 , t ) = u ( 1 , t ) u ( x , 0 ) = g ( x $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
où $g(x)$ a une discontinuité de saut à $x^*\in (0,1)$ .

Je crois comprendre que pour les schémas linéaires de différences finies supérieurs au premier ordre, des oscillations parasites se produisent près de la discontinuité au fur et à mesure qu'elle est advectée au fil du temps, entraînant une distorsion de la solution par rapport à sa forme d'onde attendue. Selon l' explication de Wikipédia , il semble que ces oscillations se produisent généralement lorsqu'une fonction discontinue est approchée avec une série de Fourier finie.

Pour une raison quelconque, je n'arrive pas à comprendre comment une série de Fourier finie peut être observée dans la solution de ce PDE. En particulier, comment puis-je estimer analytiquement une limite sur le "dépassement"?

La méthode au vent de premier ordre est monotone; il n'introduit pas d'oscillations parasites. Mais il n'est précis que du premier ordre, ce qui entraîne une diffusion numérique telle qu'il est inutilisable à de nombreuses fins. Le théorème de Godunov déclare que les discrétisations spatiales linéaires de niveau supérieur au premier ordre ne peuvent pas être monotones. Pour contrôler rigoureusement les oscillations, nous utilisons des schémas de réduction de variation totale (TVD) . Les méthodes TVD sont généralement limitées à une précision de second ordre. Pour un ordre plus élevé, nous devons soit assouplir notre demande, ce qui conduit à des méthodes de variation totale bornée (TVB) comme (pondérées) essentielles non oscillatoires ((W) ENO), soit assouplir la définition de TVD à "préservation du principe maximal" ou similaire, où les extrema initiaux sont en termes d'une solution reconstruite initiale, résultant enrégimes spéciaux de limitation .

La discrétisation linéaire par différence finie d'un problème 1D à frontières périodiques conduit à une discrétisation de la forme

où est une matrice circulante . Les vecteurs propres de toute matrice circulante sont des modes de Fourier discrets (ici est l'espacement de la grille et est le nombre d'onde, qui va de zéro au plus grand nombre d'onde représentable sur la grille). Ces vecteurs propres constituent la base de toutes les fonctions qui peuvent être représentées sur la grille. Si vous exprimez la solution en termes de ces modes de Fourier discrets, alors la méthode numérique est diagonalisée, c'est-à-dire que chaque composante de Fourier est multipliée par un facteur scalaire (généralement complexe) à chaque étape. Le facteur scalaire est souvent appelé facteur d'amplification, et ce que je viens de décrire est connu sous le nom d' analyse de von Neumannv j = exp ( i j h ξ ) h $L$

Vous pouvez trouver de belles explications, par exemple, dans le texte de Strikwerda ou LeVeque .

Toutes les oscillations parasites ne sont pas des phénomènes de Gibbs. Ils se ressemblent, mais il existe des oscillations de Gibbs pour toutes les approximations de Fourier finies des fonctions discontinues (elles deviennent juste plus petites à mesure que vous ajoutez des termes). Alors qu'il existe des représentations non oscillatoires de fonctions discontinues résultant de la solution d'approximations aux différences finies aux PDE qui ne nécessitent pas de séries infinies.

Bathe ( Inf – sup testing of upwind methods , PDF) a un article à ce sujet pour les méthodes par éléments finis (convection-diffusion, IIRC) en 1-D qui implique de calculer la constante pour la condition - et de la relier aux oscillations . Vous pourriez en tirer un aperçu.$\inf$$\sup$

Quant à votre dernière question sur la connexion entre les séries de Fourier finies et l'approximation des éléments finis: En général, si vous essayez de projeter une fonction avec un saut sur un espace de dimension finie dont les fonctions de base sont continues, vous obtenez le phénomène de Gibbs. Cela est vrai si la base est une série de Fourier finie (où les fonctions de base sont les sinus et les cosinus) ou si la base est les fonctions de chapeau d'éléments finis habituelles - c'est une propriété de la projection plus l'inadéquation des fonctions de base.

Une approche consiste à utiliser l'équation équivalente, c'est-à-dire l'équation différentielle à laquelle votre méthode discrète donne l'approximation la plus proche. Ce n'est jamais l'équation différentielle que vous aviez l'intention de résoudre. Ensuite, vous regardez la solution asymptotique de l'équation équivalente, pour une fonction de pas comme données initiales. Regardez Bouche, D., Bonnaud, G. et Ramos, D., 2003. Comparaison des schémas numériques pour résoudre l'équation d'advection. Lettres de mathématiques appliquées, 16 (2), pp.147-154.