Comment améliorer la précision d'une méthode aux différences finies pour trouver le système propre d'un ODE linéaire singulier

J'essaie de résoudre une équation du type:

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

Où a un pôle simple à 0 , pour les N valeurs propres et vecteurs propres les plus petits . Les conditions aux limites sont: ψ ( 0 ) = 0 et ψ ( R ) = 0 , et je ne regarde que la fonction sur ( 0 , R ] .$f(x)$$0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

Cependant, si je fais une méthode de différence finie très simple et uniformément espacée, la plus petite valeur propre est très inexacte "première valeur propre" devient la seconde, mais reste médiocre).

Qu'est-ce qui affecte la précision d'un tel schéma de différences finies? Je suppose que la singularité est à l'origine du problème et qu'une grille inégalement espacée améliorerait considérablement les choses. Mais peut-être qu'un schéma de différence d'ordre supérieur l'améliorerait davantage? Comment décidez-vous (ou est-ce simplement "essayez les deux et voyez")

note: mon schéma de différence finie est tridiagonal symétrique où les 3 diagonales sont:

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

$\Delta$

Si vous souhaitez augmenter la précision d'un schéma de différences finies, vous pouvez toujours essayer d'augmenter le degré de votre pochoir. Cependant, sur des points équidistants, cela peut conduire à des instabilités numériques. Pour éviter ces problèmes et toujours obtenir une grande précision, je suggère d'utiliser des méthodes spectrales .

Si votre problème a des pôles fixes, vous pouvez essayer de les contourner en divisant votre domaine et en résolvant deux problèmes couplés.

chebgui$f(x)$

chebgui$-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

Mise à jour

Si vous voulez résoudre ce problème sans trop entrer dans Chebfun, tous les détails devraient être dans le chapitre 9 du livre de Nick Trefethen " Les méthodes spectrales dans Matlab ".

$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$$x_i$$f(x)$

Bien sûr, si vous faites déjà des éléments finis, vous pourriez aussi bien investir dans l'utilisation d'éléments d'ordre supérieur qui ne sont pas beaucoup plus difficiles en 1d non plus.