Qu'en est-il de cette simple estimation d'erreur pour la PDE linéaire?

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Soit un domaine Lipschitz borné polygonalement convexe dans , soit . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

Alors la solution du problème de Dirichlet dans , sur a une solution unique dans et est bien posée, c'est-à-dire que pour un certain constant, nous avons . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Pour une approximation d'éléments finis $u_h$ , disons, avec des éléments nodaux sur une grille uniforme, nous avons l'estimation d'erreur

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Il semble (peut-être que je me trompe) que les gens n'utilisent généralement pas l'estimation d'erreur évidente

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

que nous pouvons obtenir en combinant les deux inégalités ci-dessus. Au lieu de cela, des estimateurs d'erreur a posteriori sont développés sous diverses formes. La seule objection que je puisse imaginer contre l'équation ci-dessus est que la constante $C$ pourrait en pratique être trop pessimiste ou ne pas être estimée de manière fiable.

pde finite-element error-estimation shuhalo
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La raison pour laquelle les gens préfèrent utiliser la première estimation, à mon avis, est que la première découle naturellement de l'orthogonalité de Galerkin du FEM, de la propriété d'approximation d'interpolation et, surtout, de la coercivité de la forme bilinéaire (pour le problème de valeur aux limites de l'équation de Poisson , elle est équivalente à l'inégalité de Poincaré / Friedrichs pour les fonctions ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ où dépend de la constante dans l'inégalité de Poincaré / Friedrichs pour les fonctions , est l'interpolation de dans le fini l'espace des éléments et

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ dépend des angles minimaux du maillage.

Alors que l'estimation de régularité elliptique est uniquement au niveau PDE, cela n'a rien à voir avec l'approximation, plus l'argument ci-dessus est valable même lorsque est une distribution. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Passons maintenant à la raison pour laquelle les estimations d'erreur a posteriori sont largement utilisées, principalement parce que:

Elle est calculable, il n'y a pas de constante générique dans l'expression des estimations.
L'estimateur a sa forme locale, qui pourrait être l'indicateur d'erreur local utilisé dans la procédure de raffinage adaptatif du maillage. Par conséquent, le problème des singularités ou des géométries vraiment «mauvaises» pourrait être résolu.

Les deux estimations de type a priori que vous avez énumérées sont valides, elles nous fournissent les informations des ordres de convergence, mais aucune d'entre elles ne peut être un indicateur d'erreur local juste pour un triangle / tétraèdre, car aucune d'entre elles n'est calculable en raison de la constante , ils ne sont pas non plus définis localement.

EDIT: Pour plus d'une vue générale du FEM pour les PDE elliptiques, je recommande fortement de lire le chapitre 0 du livre de Brenner et Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods , qui ne comprend que 20 pages et couvre brièvement presque tous les aspects des méthodes des éléments finis , de la formulation Galerkin de la PDE, à la motivation pour laquelle nous aimerions utiliser FEM adaptatif pour résoudre un problème. J'espère que cela vous aidera davantage.

Shuhao Cao
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Votre estimation est trop pessimiste sur deux fronts. Vous avez déjà identifié la première ( inclut désormais non seulement la constante d'interpolation mais aussi la constante de stabilité). La seconde est que l'estimation d'erreur lit vraiment Notez que le côté droit a la seminorme , pas la norme. Bien sûr, vous pouvez limiter le rhs par la norme complète, mais vous perdez à nouveau de cette façon. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

Wolfgang Bangerth
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