Stabilité exponentielle sous une transformation de coordonnées globale

Considérons un système de la forme où x ∈ R n et f : R n → R n est une fonction suffisamment lisse à l'origine en train de disparaître. Supposons que Σ présente un équilibre globalement stable de façon exponentielle à x = 0 . Appliquons maintenant une transformation de coordonnées globales z = T ( x ) , où T : R n

$$\begin{equation} \Sigma\colon\ \dot{x}=f(x), \end{equation}$$ $x\in \mathbb{R}^n$$f\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$$\Sigma$$x=0$ $$\begin{equation} z=T(x), \end{equation}$$ ,T(0)=0est undifféomorphismeglobal C 1 . En conséquence, on obtient le système transformé Σ ′ : ˙ z =g(z):= ∂ T ( x $T\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$$T(0)=0$$\mathcal{C}^1$Question:EstΣ'globalement exponentiellement stable àz=0? $$\begin{equation} \Sigma^\prime \colon\ \dot{z}=g(z):=\frac{\partial T(x)}{\partial x}f(x)\bigg|_{x=T^{-1}(z)}. \end{equation}$$ $\Sigma^\prime$$z=0$