Méthode de découplage du système MIMO (multi input - multi output)

Un système MIMO avec une méthode de découplage à 2 entrées et 2 sorties à un système SISO est décrit dans de nombreux articles et ouvrages. Qu'en est-il des systèmes de fonctions de transfert de taille m * n ? Comment peut-on généraliser la méthode par exemple aux systèmes 3 * 3 ou 3 * 7 MIMO?

Voici une description du système MIMO 2 * 2:

avec au formulaire$\mathrm{D_{11}(s)=D_{22}(s)=1}$

$$\mathrm{D(s)}=\begin{bmatrix} D_{11}(s) & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & > D_{22}(s) \\ \end{bmatrix}$$

Ici, nous spécifions une réponse découplée et le découpleur avec la structure dans l'équation

$$G_p(s)D(s)=\begin{bmatrix} G_{11}(s) & 0 \\0 & G_{22}(s) > \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \\ G_{21}(s) & > G_{22}(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & 1 > \end{bmatrix} > = \begin{bmatrix} G^*_{11}(s) & 0 \\ 0 & G^*_{22}(s) \end{bmatrix}$$

Et nous pouvons résoudre quatre équations à quatre inconnues pour trouver

$$D_{12}(s) = -\frac{G_{12}(s)}{G_{11}(s)} \\ D_{21}(s) = > -\frac{G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l1}(s) = G_{11}(s) = -\frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l2}(s) = G_{22}(s) = -\frac{G_{21}(s)G_{12}(s)}{G_{11}(s)}$$

Je ne peux pas vous donner la solution en utilisant les fonctions de transfert. Cependant, je peux vous donner une forme générale en utilisant la représentation d'espace d'états. Je vais le faire pour un système carré , c'est-à-dire que le nombre d'entrées et de sorties est égal. Pour un système avec entrées et sorties, il devient de plus en plus compliqué et beaucoup plus difficile de résoudre le problème.$n$$m$

Le système avec les sorties

$$\dot{x}=f(x)+ g_1(x)u_1 + \ldots + g_m(x)u_m$$ $$y_1 = h_1(x), \ldots, y_m = h_m(x)$$

Introduisant d'abord le dérivé de Lie. Le dérivé de Lie de par rapport à ou le long de est Par exemple, la notation suivante est utilisée: $h$$f$$f$

$$L_{f}h(x) = \frac{\partial h}{\partial x}f(x)$$ $$\begin{split} L_g L_f &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}g(x)\\ L_f^2 h(x) &= L_f L_f h(x) &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}f(x)\\ L_f^kh(x) &= L_f L_f^{k-1}h(x) &= \frac{\partial (L_f^{k-1})}{\partial x}f(x) \end{split}$$

Introduire la notion de degré relatif par rapport à chaque sortie. Considérons la sortie -ième et le différencier en fonction du temps: Cette expression dépend explicitement sur au moins une entrée if (pour tout ): If la ième sortie a donc un degré relatif .$i$

$$\dot{y}_i = L_fh_i(x) +L_{g_1}h_i(x)u_1 +\ldots L_{g_m}h_i(x)u_m$$ $x$ $$\left(L_{g_1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}h_i(x) \right)\neq (0,\ldots,0)$$ $i$$k_i = 1$

En général, le degré relatif par sortie si pour tout .$k$$i$

$$\left(L_g,L_f^{k_i-1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}L_f^{k_i-1}h_i(x)\right) \neq (0,\ldots,0)$$ $x$

Le système est maintenant linéarisé entrée-sortie (donc découplé) lors de l'application du retour suivant avec le découplage matrice , vecteur et nouveau vecteur d’entrée . Où .

$$u(x) = -A^{-1}(x)N(x)+A^{-1}(x)v$$ $A(x)$$N(x)$$v$ $$A(x) = \begin{pmatrix} L_{g_1}L_f^{k_1-1}h_1(x) & \ldots & L_{g_m}L_f^{k_1-1}h_1\\ \vdots & & \vdots\\ L_{g_1}L_f^{k_m-1}h_m(x) & \ldots & L_{g_m}L_F^{k_m-1}h_m\\ \end{pmatrix},\quad N(x) = \begin{pmatrix} L_f^{k_1}h_1(x)\\ \vdots\\ L_f^{k_m}h_m(x) \end{pmatrix}$$

Par conséquent, doit être inversible pour tout . Si vous voulez les fonctions de transfert, appliquez simplement Laplace.$A(x)$$x$