Équations différentielles d'un pont de chargement (simplifié)

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J'ai du mal à calculer les équations différentielles d'un pont de chargement simplifié.

Le système est construit comme indiqué dans l'image ci-dessous (juste un croquis):

Si j'utilise l'approche de Newton, j'obtiens les équations suivantes en négligeant le frottement, la résistance à l'air et les changements de longueur de corde:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Quand je regarde les relations cinématiques de la pince (le cercle avec le poids ) j'obtiens les équations suivantes. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Je connais les poids et et la longueur mais les valeurs ne sont pas importantes pour le moment. $m_k$ $m_G$ $l$

Le but est d'avoir deux équations différentielles à la fin. Une équation doit montrer la relation entre la force motrice et la trajectoire du chariot (avec dérivations) L'autre équation doit montrer la relation entre la force motrice et l'angle de la corde . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Après cela je veux faire les fonctions de transfert (transformation de Laplace etc.) mais ce n'est pas le problème.

Le problème est que je n'arrive pas à trouver ces équations. Jusqu'à présent, ma meilleure approche ressemble à ceci:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Cela signifie donc que si

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Je peux dire:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

et si je dérive comme ceci: $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

Je suis coincé ici parce que je ne trouve pas de moyen d'éliminer des équations. Les théorèmes d'addition ne m'aident pas du tout (ou je les utilise correctement). $\varphi$

Quelqu'un at-il une idée de la façon dont je dois continuer à ce stade? J'espère que je n'ai pas besoin d'une solution complète. Je suis en fait plus intéressé à le faire moi-même et j'espère obtenir un coup de pouce dans la bonne direction.

mechanical-engineering control-engineering modeling mathematics tlp
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Je suppose que vous avez probablement besoin d'une autre équation différentielle pour le mouvement angulaire, qui impliquera l'inertie, comme:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

ce qui donne:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Vous pouvez alors peut-être utiliser l'approximation des petits angles:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Découvrez l' exemple du pendule inversé .

am304
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Surtout le pendule inversé est très utile ... merci pour cela - je n'y ai pas pensé

tlp

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Cinématique et dynamique

Ce sont les étapes pour résoudre des problèmes de cette nature.

Analyser la cinématique du système.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

note: est une matrice de rotation et . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Prendre les dérivées temporelles:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Utilisez l'équation de Newton:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Remplacer : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Pour l'axe z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Utilisez la deuxième loi de Newton pour la rotation:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Utilisation des identités de trigonométrie:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

Terminé! Maintenant, vous pouvez vous reposer ... $\ddot\smile$

leCrazyEngineer
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