Conception de contrôleur avec méthode de placement des pôles avec temps d'amortissement et de stabilisation donné

On m'a donné les équations suivantes et on m'a demandé de concevoir un contrôleur pour utilisant une méthode de placement de pôles avec le système en boucle fermée ayant le temps d'amortissement et de stabilisation T $u=-Kx$$T_s$ donné.

Suis - je censé utiliser le et ˙ x$\dot x_1$$\dot x_2$ équations ou sont-elles totalement sans importance?

En outre, quelle méthode de placement de pôle est la plus facile pour le cas, le locus de la racine ou les parcelles de Bode et de Nyquist?

$$\begin{gather} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = -x_1 +\dfrac{1}{6}x_1^5-x_2+u \\ u = -Kx \quad \zeta=1.02 \quad T_s = 0.40 \end{gather}$$

Étape 1

La première chose à faire est de déterminer les pôles souhaités.

La fréquence naturelle peut être calculée en utilisant . Ceci est un calcul empirique pour les systèmes insuffisamment amortis. Le système ici est légèrement suramorti et non linéaire également. Si le temps de stabilisation souhaité n’est pas obtenu à la fin, nous devons revenir et augmenter légèrement la constante 4. La procédure de conception est généralement itérative. Nous commençons donc parω=$\omega =\frac{4}{\zeta T_s}$$\omega =9.80392$

Ensuite, l’équation caractéristique peut être calculée comme suit: , ce qui, après la substitution de valeurs, donne s 2 + 20 s + 96,1169 et a des racines - 11,9706 et - $s^2+2 \zeta s \omega +\omega ^2$$s^2+20 s+96.1169$$-11.9706$$-8.02944$

Étape 2

Mettre le système dans un linéaire de où x = ( x

$$\dot{x}=\text{A}.x+\text{B}.v$$ A=( 0 1 $$x=\left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ \end{array} \right)^T \ \ \ v=u+\frac{x_1^5}{6}$$ $$A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ B=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$$

Étape 3 Faites la conception de placement des pôles qui donne utilisant la formule d'Ackerman. k = ( 0 1 ) . $v=-k.x$

$$k=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \end{array} \right). \left( \begin{array}{cc} \text{B} & \text{A}.\text{B} \\ \end{array} \right)^{-1}. (\text{A}^2+20 \text{A}+96.1169I)$$

$$k=\left( \begin{array}{cc} 95.1169 & 19 \\ \end{array} \right)$$

Étape 4

$u$

$$u+\frac{x_1^5}{6}=-95.1169 x_1-19 x_2$$ $$u=-95.1169 x_1-19 x_2-\frac{x_1^5}{6}$$

Étape 5

Vérification. Nous devons voir si la conception a répondu aux exigences. (Ces simulations ont été effectuées dans Mathematica. Les calculs ci-dessus auraient également pu être effectués ici. Je les ai passés manuellement ci-dessus pour expliquer certaines choses.) Nous voyons dans l'intrigue que la contrainte de temps d'établissement a été satisfaite.