Conception de contrôleur avec méthode de placement des pôles avec temps d'amortissement et de stabilisation donné

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On m'a donné les équations suivantes et on m'a demandé de concevoir un contrôleur pour utilisant une méthode de placement de pôles avec le système en boucle fermée ayant le temps d'amortissement et de stabilisation T svous=-KXTs donné.

Suis - je censé utiliser le et ˙ x 2X˙1X˙2 équations ou sont-elles totalement sans importance?

En outre, quelle méthode de placement de pôle est la plus facile pour le cas, le locus de la racine ou les parcelles de Bode et de Nyquist?

X˙1=X2X˙2=-X1+16X15-X2+vousvous=-KXζ=1,02Ts=0,40
Spe4ker
la source
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Aucune de vos méthodes proposées ne sera applicable, car votre système n'est pas linéaire (à cause de ). X15
Fibonatic
alors, le processus serait de linéariser et ensuite de concevoir le contrôleur?
Spe4ker
Oui. Aussi êtes - vous sûr que , ou faut - il ˙ x 1 = x 2 ? X˙1=X˙2X˙1=X2
Fibonatic
Je suis sûr que c'est juste . X2
Suba Thomas

Réponses:

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Étape 1

La première chose à faire est de déterminer les pôles souhaités.

La fréquence naturelle peut être calculée en utilisant . Ceci est un calcul empirique pour les systèmes insuffisamment amortis. Le système ici est légèrement suramorti et non linéaire également. Si le temps de stabilisation souhaité n’est pas obtenu à la fin, nous devons revenir et augmenter légèrement la constante 4. La procédure de conception est généralement itérative. Nous commençons donc parω=9.80392ω=4ζTsω=9.80392

Ensuite, l’équation caractéristique peut être calculée comme suit: , ce qui, après la substitution de valeurs, donne s 2 + 20 s + 96,1169 et a des racines - 11,9706 et - 8,02944.s2+2ζsω+ω2s2+20s+96.1169-11.9706-8.02944

Étape 2

Mettre le système dans un linéaire de x = ( x 1

X˙=UNE.X+B.v
A=( 0 1 -
X=(X1X2)T   v=vous+X156
UNE=(01-1-1)     B=(01)

Étape 3 Faites la conception de placement des pôles qui donne utilisant la formule d'Ackerman. k = ( 0 1 ) . (v=-k.X

k=(01).(BUNE.B)-1.(UNE2+20UNE+96.1169je)

k=(95.116919)

Étape 4

vous

vous+X156=-95.1169X1-19X2
vous=-95.1169X1-19X2-X156

Étape 5

Vérification. Nous devons voir si la conception a répondu aux exigences. (Ces simulations ont été effectuées dans Mathematica. Les calculs ci-dessus auraient également pu être effectués ici. Je les ai passés manuellement ci-dessus pour expliquer certaines choses.) Nous voyons dans l'intrigue que la contrainte de temps d'établissement a été satisfaite.

entrez la description de l'image ici

Suba Thomas
la source
Explication très détaillée. Je comprends que l’essentiel était de partir de l’hypothèse d’un comportement dominant du second ordre et de trouver les pôles de la boucle fermée de s2 + 2ζsω + ω2 = 0. Si je n’ai pas accès à mathematica ou matlab, puis-je calculer le temps de stabilisation avec e ^ ζsωts en regardant simplement le graphique standard?
spe4ker
De plus, si je veux prouver la stabilité du système via la méthode de la fonction lyapunov, comment puis-je approximer une équation initiale?
Spe4ker
X1564ζω
X˙=UNE.X+B.vv=-K.X sont équivalents au système final. Vous pouvez effectuer l’analyse de stabilité de Lyapunov à cet effet comme vous le feriez pour tout système linéaire de ce type.
Suba Thomas