Montrer que

Définitions et autres:

Considérons un espace de probabilité filtré $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ où

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Il s'agit d' une mesure neutre au risque .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

où $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ est la norme $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$ - mouvement brun.

Considérons $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$ où

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Définir la mesure à terme $\mathbb Q$ :

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

où est un processus à taux court et { P ( t , T ) } t ∈ [ 0 , T ] est le prix de l'obligation au temps t.$\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

On peut montrer que est une ( F t , P ) - martingale où la dynamique du prix des obligations est donnée par:$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

où

1. et ξ t sont F t -adaptés$r_t$$\xi_t$$\mathscr F_t$

2. satisfait la condition de Novikov (je ne pense pas que ξ t soit censé représenter quelque chose en particulier)$\xi_t$$\xi_t$

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Problème:

Définir le processus stochastique st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Utilisez le théorème de Girsanov pour prouver:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

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Ce que j'ai essayé:

Puisque satisfait la condition de Novikov,$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

est une martingale.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Par le théorème de Girsanov,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Je suppose que nous avons que est Q standard -Brownian Motion si nous pouvons montrer que$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

J'ai perdu mes notes, mais je pense que j'ai pu montrer en utilisant le lemme d'Ito que

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

De ceux que je déduis que

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

Est-ce correct?

(En examinant de plus près la question et la notation, la formulation semble poser problème à quelques endroits.)

Fait général

Soit $W$ le mouvement brownien standard par rapport à la filtration $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ . Considérons $(L_t)_{t \in [0,T]}$ défini par

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ En général,$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$est une super martingale. Dans certaines conditions (par exemple la condition de Novikov),$L_t$est une martingale et on peut définir une mesure de probabilité$\mathbb{Q}$par $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ Sous$\mathbb{Q}$, le processus $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

Une indication informelle pourquoi cela est vrai est la suivante. Considérons $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ . Selon le théorème de Bayes, $W^{\lambda}$ est une $\mathbb{Q}$ -martingale si et seulement si $L W^{\lambda}$ est une $\mathbb{P}$ -martingale. Depuis

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ nous devons avoir$\lambda = - \psi$, pour que$W^{\lambda}$soit unmouvement brun-$\mathbb{Q}$.

Prix ​​réduit comme densité de probabilité

Les hypothèses implicites sont qu'il existe un actif sous-jacent dont le prix $S_t$ suit

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ titrela mesure de risque neutre$\mathbb{P}$. Lesprocessus detaux court$(r_t)$et de volatilité $\sigma_t$sont adaptés avec une régularité suffisante pour que les intégrales existent. (Pour que cela soit vrai, la filtration brownienne générée par$(W_t)$sous la mesure neutre au risque doit être la même que celle générée par le mouvement brownien physique sous la mesure physique, de sorte que le théorème de représentation de la martingale s'applique.)

Dans ce cadre de filtration brownienne, à tout moment - $T$ réclame $X_T$ , la dynamique neutre au risque de son prix $X_t$ prend la forme

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ Le processus$(\psi_t)$est la volatilité du rendement de$X_t$, sous la mesure physique et neutre au risque.

En d'autres termes, la dynamique neutre au risque du prix réduit $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$ est donnée par

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ (Le prix réduit de touteréclamation$T$ doit suivre une martingale sous mesure neutre au risque, sans arbitrage.)

Si la condition de Novikov est vraie, alors $L_T = \frac{M_T}{M_0}$ définit une densité Radon-Nikodym

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ Sous$\mathbb{Q}$, le processus $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

En d' autres termes, la valeur actualisée gain $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ de tout $T$ de $X_T$ , normalisé par son de temps $0$ prix $X_0$ , peut être considéré comme la densité de Radon-Nikodym d'une mesure $\mathbb Q$ . Sous $\mathbb Q$ , le mouvement brownien neutre au risque a maintenant une dérive donnée par la volatilité du rendement $\frac{d X_t}{X_t}$ .

Si $(Y_t)$ est le prix d'un actif négocié, alors $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ est une $\mathbb P$ -martingale. Cela implique que $(\frac{Y_t}{X_t})$est une$\mathbb Q$-martingale.

Mesure avant

La mesure directe est un cas particulier de ci - dessus où $X_t = P(t,T)$ est le de temps $t$ prix de l'obligation à coupon zéro échéant à $T$ . En particulier, $X_T = P(T,T) = 1$ . Dans l'expression

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$est la volatilité du rendement de l'obligation à coupon zéro.

(Si $(r_t)$ est déterministe, alors $\xi = 0$ , et la mesure à terme est la même que la mesure neutre au risque. L'obligation à coupon zéro est un actif risqué uniquement lorsque le taux court est stochastique.)

La mesure correspondante $\mathbb Q$ est définie par

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ Depuis $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ il résulte de la discussion générale ci-dessus que, sous$\mathbb{Q}$, le processus $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

(Dans la question posée, la martingale $M_t$ doit être $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Commentaires empiriques

$\mathbb Q$$\mathbb Q$

Supposer $F(t,T)$$t$$T$

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ $\mathbb P$$F(t,T)$$\mathbb Q$

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$