Comment puis-je obtenir la fonction de production de Leontief et Cobb-Douglas à partir de la fonction CES?

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Dans la plupart des manuels de microéconomie, il est mentionné que la fonction de production à élasticité constante de substitution (CES),

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(où l'élasticité de substitution est σ=11+ρ,ρ>1), a pour limites à la fois la fonction de production de Leontief et celle de Cobb-Douglas. Plus précisément,

limρQ=γmin{K,L}

et

limρ0Q=γKaL1a

Mais ils ne fournissent jamais la preuve mathématique de ces résultats.

Quelqu'un peut-il fournir ces preuves?

De plus, la fonction CES ci-dessus incorpore des rendements d'échelle constants (homogénéité de degré un), car l'exposant extérieur étant . Si c'était le cas, disons , alors le degré d'homogénéité serait . 1/ρk/ρk

Comment les résultats limites sont-ils affectés si ?k1

Huseyin
la source
3
Cela semble être une question de devoirs sans effort préalable pour le résoudre, voir: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…
FooBar
1
C'est certainement un sujet sur le sujet, mais une question de mauvaise qualité . Même si ce n'est pas des devoirs Huseyin, nous attendons de vous: a) Soyez prudent avec votre notation (vous avez utilisé et ) et b) Donnez quelques réflexions et des façons dont vous avez essayé de résoudre le problème. Nous sommes là pour aider les gens qui s'aident eux - mêmes et non pour offrir des services professionnels à titre gracieux. ρp
Alecos Papadopoulos
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Les mathématiques font les choses différemment à peu près tout le reste du réseau d'échange de piles. Ce n'est que sur math.se que vous pouvez soumettre des problèmes pour que d'autres personnes les résolvent sans montrer d'effort. Veuillez enregistrer ce genre de question pour math.se, pas ici.
EnergyNumbers
2
Lorsque vous dites «j'ai besoin de prouver» sans aucune indication de la raison pour laquelle vous devez le prouver, les gens vont supposer que ce sont des devoirs.
Steven Landsburg
1
@Huseyin Maintenant que la question a été rouverte et qu'une réponse a été fournie, ne publierez-vous pas votre réponse pour la limite Cobb-Douglas?
Alecos Papadopoulos

Réponses:

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Les preuves que je présenterai sont basées sur des techniques pertinentes au fait que la fonction de production CES a la forme d'une moyenne pondérée généralisée .
Cela a été utilisé dans le document original où la fonction CES a été introduite, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS et Solow, RM (1961). Substitution capital-travail et efficacité économique. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Les auteurs y ont référé leurs lecteurs au livre Hardy, GH, Littlewood, JE et Pólya, G. (1952). Inégalités , chapitre .2

Nous considérons le cas général

Qk=γ[aKρ+(1a)Lρ]kρ,k>0

γ1Qk=1[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ

1) Limiter quandρ
Puisque nous sommes intéressés par la limite quand nous pouvons ignorer l'intervalle pour lequel , et traiter comme strictement positif.ρρ0ρ

Sans perte de généralité, supposons . Nous avons également . Ensuite, nous vérifions que l'inégalité suivante s'applique:KL(1/Kρ)(1/Lρ)K,L>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQk1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

en augmentant la puissance pour obtenirρ/k

(1)

(2)(1a)(1/Lρ)a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)(1/Lρ)
qui tient en effet, évidemment, compte tenu des hypothèses. Revenez ensuite au premier élément de et(1)

limρ(1a)k/ρ(1/Lk)=(1/Lk)

qui prend en sandwich le moyen terme dans à , donc(1)(1/Lk)

(3)limρQk=γ1/Lk=γLk=γ[min{K,L}]k

Donc, pour nous obtenons la fonction de production de Leontief de base.k=1

2) Limite lorsqueρ0
Écrivez la fonction en utilisant exponentielle comme

(4)γ1Qk=exp{kρln[a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1]}

Considérons l'expansion de Maclaurin de premier ordre (expansion de Taylor centrée sur zéro) du terme à l'intérieur du logarithme, par rapport à :ρ

a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1=a(K0)1+(1a)(L0)1a(K0)2K0ρlnK(1a)(L0)2L0ρlnL+O(ρ2)

=1ρalnKρ(1a)lnL+O(ρ2)=1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2)

Insérez-le dans et débarrassez-vous de l'exponentielle externe,(4)

γ1Qk=(1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2))k/ρ

S'il est opaque, définissez et réécrivezr1/ρ

γ1Qk=(1+[lnKaL(1a)]r+O(r2))kr

Maintenant, cela ressemble à une expression dont la limite à l'infini nous donnera quelque chose d'exponentiel:

limρ0γ1Qk=limrγ1Qk=(exp{lnKaL(1a)})k

limρ0Qk=γ(KaL1a)k

Le degré d'homogénéité de la fonction est conservé et si on obtient la fonction Cobb-Douglas.kk=1

Ce fut ce dernier résultat qui a fait Arrow et Co appeler paramètre « distribution » de la fonction CES.a

Alecos Papadopoulos
la source
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La méthode habituelle pour obtenir Cobb-Douglas et Leotief est la règle de L'Hôpital .

Une autre méthode devrait également être utilisée. Le réglage sera retourné et Par La dérivée totale via les différentiels nous aurons Avec quelques manipulations notre équation principale sera obtenue.γ=1Q=[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

Qρ=[aKρ+(1a)Lρ]
ρQρ1dQ=aρKρ1dK(1a)ρLρ1dL

dQ=a(QK)1+ρdK+(1a)(QL)1+ρdL

Fonction linéaire :limρ1dQQ=aK+(1a)L

Fonction Cobb-Douglas : Prendre l'intégrale des deux côtés produirait

limρ0dQ1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

Q=KaL(1a)eC=AKaL(1a)

Fonction Leontief :limρdQmin(aK,(1a)L)

Huseyin
la source
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(+1) J'aime particulièrement la façon dont la fonction Cobb-Douglas est obtenue.
Alecos Papadopoulos
Merci @AlecosPapadopoulos. mais je ne sais pas pourquoi certains corps n'aiment pas encore ce post? Je pense que ce type de questions peut au moins me fournir un remue-méninges.
Huseyin
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A strictement parler Huseyin, ils ont raison: vous auriez dû inclure au moins une partie de votre réponse dans votre question : "voici ma façon de faire les choses, y en a-t-il une autre?"
Alecos Papadopoulos
Prendre un différentiel et intégrer est-il "équivalent" à prendre une limite? En général, peut-on prendre différentiel et intégrer pour trouver une limite? Ou s'agit-il d'une application spéciale?
PGupta