Relations binaires pour Cobb-Douglas

Je suis en train de passer en revue les anciens midterms pour me préparer pour mon prochain midterm et j'ai rencontré cette question:

Soit . Maintenant, laissez et sur être définis comme suit: et$\alpha , \beta \in (0,1)$$f_{\alpha}$$f_{\beta}$$\mathbb{R^2}$$f_{\alpha}(x)=x_1^{\alpha} x_2^{1 - \alpha}$$f_{\beta}(x)=x_1^{\beta} x_2^{1 - \beta}$

Soit maintenant R une relation binaire sur . Soit Nous avons cela:$\mathbb{R_x^2}$${x,y} \subset R_+^2$

$$xRy \leftrightarrow f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \land f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y)$$

Pour quelles combinaisons de et cette relation binaire est-elle complète, pour quelles combinaisons est-elle transitive et pour quelles combinaisons est-elle continue?$\alpha$$\beta$

Mes pensées

• Il semble que cela ne puisse être complet que si mais je ne peux pas tout à fait terminer la preuve chaque fois que je procède avec WLOG avec Quelqu'un peut-il ici essayer de prouver formellement que cela est complet si ? $\alpha=\beta$$\alpha < \beta$$\alpha = \beta$

• Je pense que chaque fois que nous avons xRy, yRz, nous aurons nécessairement xRz. C'est. Et donc, je pense que cela est transitif pour toutes les combinaisons de . Ma preuve consiste à utiliser le bon ordre des réels et la définition donnée pour cette relation particulière. Si quelqu'un pense que cela n'est pas vrai pour tous les s'il vous plaît, laissez-moi savoir pourquoi / comment.$\alpha,\beta$$\alpha,\beta$

• Je sais ce qu'est la continuité et comment le prouver. Cependant, je ne sais pas pour quelles combinaisons de cette relation est continue. Je soupçonne qu'il est continu pour toutes les combinaisons de . Est-ce vrai? Si oui, pouvez-vous le prouver? $\alpha,\beta$$\alpha,\beta$

J'utiliserai la définition suivante de continuité pour les relations binaires.

Définition 1: Une relation binaire sur est continue si pour chaque , les ensembles suivants sont fermés. $\mathcal{R}$$\mathbb{R}^2_+$$x$

$$USC_x = \{y\in \mathbb{R}^2_+|y\mathcal{R}x\}$$ $$LSC_x = \{y\in \mathbb{R}^2_+|x\mathcal{R}y\}$$

Définition 2: Un ensemble est fermé si est une séquence de et , alors .$Z$$z_n$$Z$$z_n\rightarrow z$$z\in Z$

Soit maintenant défini comme dans votre question, c'est-à-dire Soit . Soit une séquence dans convergeant vers . Ensuite, pour chaque , Puisque et sont continus, nous avons impliquant que ; par conséquent,$\mathcal{R}$

$$x\mathcal{R} y\iff f_\alpha(x) \geq f_\alpha(y)\text{ and }f_\beta(x) \geq f_\beta(y)$$ $x\in \mathbb{R}^2_+$$x_n$$USC_x$$x^\ast$$n$ $$f_\alpha(x_n) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x_n) \geq f_\beta(x).$$ $f_\alpha$$f_\beta$ $$f_\alpha(x^\ast) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x^\ast) \geq f_\beta(x).$$ $x^\ast\in USC_x$$USC_x$est fermé. Nous pouvons également montrer que est fermé en utilisant des arguments identiques. Ceci conclut que est continu.$LCS_x$$\mathcal{R}$

Remarque 1: Les arguments ci-dessus fournissent une stratégie générale d'analyse des déclarations concernant . La transitivité de peut être prouvée en quelques étapes simples. Votre déclaration concernant cette propriété est un peu vague et devrait être plus rigoureuse à mon humble avis.$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$

Remarque 2: Votre explication sur l'exhaustivité nécessite également un argument clairement écrit. S'il est vrai que implique la complétude de , le raisonnement qui le rend vrai n'est pas exactement ce que vous proposez. Il est également nécessaire de montrer que implique que ne serait pas complet (je pense que cela devrait être le cas). Cela nécessiterait un peu plus de travail de votre part. Faites-moi savoir si vous rencontrez des problèmes dans ce domaine.$\alpha=\beta$$\mathcal{R}$$\alpha\neq \beta$$\mathcal{R}$

Bottomline: À mon humble avis, vous devriez faire beaucoup pour prouver des choses. Prenez peut-être un livre sur l’initiation aux mathématiques abstraites et autres.

Quelques réflexions:

Pour être complet, je pense que vous pouvez faire un cas un peu plus fort que pour tout , ceci satisfait la complétude .$x_1 \geq y_1, x_2 \geq y_2$$\forall \alpha, \beta$

$$x_1^\alpha x_2^{1-\alpha} \geq y_1^\alpha y_2^{1-\alpha}$$ $$x_1^\beta x_2^{1-\beta} \geq y_1^\beta y_2^{1-\beta}$$

Pour assurer la continuité, vous pouvez utiliser deux définitions, l’une avec les séquences et l’autre avec epsilon-balls autour d’un point de votre relation binaire.

J'ai résolu ceci:

note - J'utilise pour désigner la relation binaire telle que définie ci-dessus.$R$

Complétude :

Je prétends que ce n’est pas complet pour . Pour illustrer, j'utilise un cas extrême.$R$$\alpha \neq \beta$

Soit et st et$\alpha \to 1$$\beta \to 0$$f_{\alpha} \approx x_1$$f_{\beta} \approx x_2$

Maintenant, nous allons [x, y] st et$\subset \mathbb{R}^2$$x_1 >> y_1$$x_2<<y_2$

Maintenant: $f_{\alpha}(x) \approx x_1 >> y_1 \approx f_{\alpha}(y)$

et: $f_{\beta}(x) \approx x_2 << y_2 \approx f_{\beta}(y)$

donc mais$f_{\alpha}(x) >> f_{\alpha}(y)$$f_{\beta}(x)<<f_\beta(y)$

J'ai utilisé un raisonnement de cas extrême pour démontrer, WLOG, que chaque fois que ni ni$\alpha \neq \beta \space \exists [x,y] \subset \mathbb{R}_+^2 s.t.$$xRy$$yRx$

note_1 - L'intuition ici est très similaire à une preuve delta / epsilon. Pour toute combinaison d'alpha et de bêta (où les deux ne sont pas égaux), je peux choisir x, y pour que la preuve ci-dessus soit toujours valable.

note_2 - Que le cas de soit complet est trivial. Je suppose que son inclusion ici n'est pas nécessaire.$\alpha = \beta$

Transitivité :

Soit e$[x,y,z] \subset \mathbb{R}^2$$xRy, yRx$

Je revendique$xRz$

depuis , et par les propriétés de$Xry$$yRx$$\mathbb{R}_+^2$

$$f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \geq f_{\alpha}(z)$$ $$f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y) \geq f_{\beta}(z)$$

$$\implies xRz$$

et est transitif.$R$

Continuité

prouvé ci-dessus donc je ne vais pas répéter cette partie de la preuve.