Courbes d'indifférence minces

Si un consommateur suit l'axiome de continuité de la rationalité (c'est-à-dire pas de sauts dans ses préférences), les courbes d'indifférence d'une fonction d'utilité sont dites minces.

Pourquoi la continuité ( telle que | z | ≥ y ∀ ϵ > 0 ) implique des courbes d'indifférence minces?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

Je ne pense pas que la continuité soit suffisante pour garantir de fines courbes d'indifférence.

Considérez les préférences telles que, pour tout et y dans l'ensemble de choix, le consommateur est indifférent entre x et y . Il semble que cela doit correspondre à toute définition d'une courbe d'indifférence épaisse car l'ensemble des choix repose sur une seule courbe d'indifférence!$x$$y$$x$$y$

Mais ces préférences satisfont également votre définition de la continuité.

Ainsi, il semble que la continuité n'implique de fines courbes d'indifférence que si elle est associée à une autre hypothèse.

Pour commencer, je pense que la question est mal posée. Car si la définition d'une fine courbe d'indifférence est telle que la continuité des préférences d'un consommateur implique de fines courbes d'indifférence, alors, assurément, la continuité implique de fines courbes d'indifférence ... Cela répond à votre question.

Cependant, si nous voulons faire une définition appropriée d'une courbe d'indifférence mince, nous pouvons d'abord dire que est une courbe d'indifférence épaisse , où Δ est l'ensemble des faisceaux possibles, et où ∼ désigne l'indifférence, chaque fois qu'il existe un q ′ ∈ [ q ] et un ϵ > 0 tels que p ∈ N ϵ ( q ′ ) implique p

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$ , où N ϵ ( q ′ ) est un voisinage epsilon autour de q ′ ; et dire ensuite que [ q ] est unecourbe d'indifférencemincesi elle n'est pas épaisse. Familièrement, cela signifie qu'il y a une bosse sur une courbe d'indifférence épaisse [ q ] , mais pas une telle bosse sur une courbe d'indifférence mince.$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$$[q]$

Essentiellement, ce qui précède est une brève exposition d' une approche géométrique de l'utilité attendue (Chatterjee et Krishna, 2006) . En utilisant la définition ci-dessus d'une courbe d'indifférence mince, ils montrent dans le lemme 2.3 que (i) la continuité et (ii) l'indépendance implique des courbes d'indifférence minces (notez qu'ils ne montrent pas que la continuité à elle seule implique des courbes d'indifférence minces; voir la réponse omniprésente) . Leur définition s'appuie sur les deux concepts topologiques suivants.

1. L'hypothèse de continuité. Tous les sous-ensembles et { q | p ≻ q } de Δ , où p ∈ Δ , sont ouverts; ici, rappelez-vous qu'un ensemble ouvert est un ensemble pour lequel chaque point en lui a un voisinage se trouvant dans cet ensemble. Ainsi, cette notion de continuité est similaire à la vôtre.$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. L'hypothèse de l'indépendance. Pour tout , p ≻ q et λ ∈ ( 0 , 1 ] implique que λ p + ( 1 - λ ) r ≻ λ q + ( 1 - λ ) r ; cela permet une belle algèbre.$p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

Maintenant, ce qu'ils montrent dans le lemme 2.3 est essentiellement que si vous avez une courbe d'indifférence et considérer certains epsilon-quartier N de ( q ' ) autour de q ' ∈ [ q ] , alors p ∈ N de ( q ' ) sera n'implique pas que p ∼ q ′ pour arbitrairement petit ϵ > 0 . C'est-à-dire, si petit soit-il, aucun voisinage epsilon n'est tel qu'il ne contient que des faisceaux pour lesquels on est indifférent entre ces faisceaux et $[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$ . Au lieu de cela, chaque quartier epsilon comprendra des points strictement préférés à q ' .$q'$$q'$

Pour les fonctions d'utilité continues, je pense qu'il est utile de noter que leur image dans par exemple a (Lebesgue) mesure 0 (cf. Comment prouver que l'image d'une courbe continue dans R 2 a la mesure 0 ? )$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$