Hypothèse de log-normalité dans la tarification des actifs basée sur la consommation

Considérons un problème de maximisation du consommateur représentatif du temps discret très basique avec l'utilitaire CRRA. Il existe un actif risqué au temps prix qui paie le temps dividende , et un actif sans risque au prix qui paie un gain constant 1 à . Nous supposons que les dividendes sont une séquence de variables aléatoires qui suivent un processus de Markov. Supposons en outre que le consommateur n'a pas d'autres revenus (c'est-à-dire ). Au moment t, le consommateur investit le montant dans l'actif risqué et le montant dans l'actif sans risque. Par conséquent, le problème de maximisation peut être déclaré comme $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Disons que nous voulons trouver le taux d'équilibre sans risque et la prime de capital attendue. Afin de clôturer le modèle, on suppose souvent (voir par exemple le livre de Claus Munk, Financial Asset Pricing Theory chapitre 8.3) que la croissance de la consommation de log et les rendements bruts à risque de log sont distribués normalement conjointement. C'est à dire

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

où les rendements bruts sont définis comme

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Ce que je ne comprends pas complètement, c'est d'où viennent les hypothèses de distribution normales du journal. Je sais que puisqu'il s'agit d'une économie d'agent représentative, la consommation de l'agent doit être égale au dividende agrégé de l'économie. Mais puisque nous avons supposé qu'il n'y a pas de revenu, , le seul processus de dividende exogène dans l'économie est et donc il devrait avoir la même distribution que la croissance de la consommation. Cependant, mon impression est que lorsque nous disons que le taux risqué a une distribution log-normale, cela signifie en fait le processus de dividende, car c'est la «partie aléatoire» dans la définition des rendements (prix $y_t = 0 \ \forall t$ $d_t$ $p_{t+1}$ n'est pas exogène mais déterminé à l'intérieur du modèle). Il me semble maintenant que nous avons fait deux hypothèses différentes sur le même processus de dotation . D'où vient l'hypothèse de consommation ou que signifie-t-elle? Comment la situation changerait-elle si le consommateur avait une revenus ? $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing vvv
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Réponses:

Le lagrangien typique à deux périodes est

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

Les conditions de premier ordre par rapport à sont $c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

et donc, en utilisant également la définition du rendement brut,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

En combinant et nous obtenons $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Nous voyons donc qu'à la trajectoire optimale, la croissance de la consommation est une fonction affine directe des rendements log-risque. Cela implique entre autres que leur coefficient de corrélation est égal à l'unité.

La distribution normale est fermée sous les transformations affines (alternativement, sous l'échelle et le décalage), donc si nous supposons que les rendements log-risqués sont normalement distribués, alors la croissance de la consommation est également normalement distribuée (avec une moyenne et une variance différentes bien sûr).

Notez que bien qu'en général, l' hypothèse de normalité conjointe soit une hypothèse supplémentaire à faire lorsque deux variables aléatoires normales ne sont pas indépendantes, ici, le fait que l'une est une fonction affine de l'autre garantit la normalité conjointe. Selon la condition de Cramer pour la normalité bivariée, il doit être le cas que toutes les combinaisons linéaires de deux variables aléatoires normales ont une distribution normale univariée. Dans notre cas, nous avons (notation générique) le variable aléatoire et la variable aléatoire . Considérer $Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Donc pour tout (sauf le vecteur zéro qui est exclu a priori), suit une distribution normale si fait. Il suffit donc de supposer que les rendements log-risque suivent une distribution normale pour obtenir également une normalité conjointe. $(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

Alecos Papadopoulos
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Il s'agit d'une ancienne réponse, mais comme indiqué, cette réponse est fausse. Vous devez être prudent lorsque vous utilisez des multiplicateurs de Lagrange en présence d'éléments stochastiques. Si vous faites le calcul correctement, vous vous retrouvez uniquement avec l'équation standard de tarification des actifs - dans votre calcul, vous perdez l'attente car vous ne faites pas attention à votre optimisation. (Une autre façon de dire cela est que le problème d'optimisation devrait avoir contraintes au lieu de , où est le nombre d'états de nature possibles dans la période )

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

Starfall

@Starfall Merci pour votre contribution. Ancien ou non, le contenu erroné doit être corrigé. Je vais vérifier à nouveau la réponse et voir ce que je peux faire. À première vue, je pense que vous voulez dire que la covariance entre le multiplicateur et les termes a été ignorée.

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

Alecos Papadopoulos

Ce n'est pas seulement la covariance qui a été ignorée - si c'était le seul problème, vous vous seriez retrouvé avec , qui ne relie que la valeur attendue du facteur d'actualisation avec les rendements attendus, tandis que votre réponse se termine par , une relation ex post entre le facteur d'actualisation et les rendements qui est valable dans tous les états de la nature. Le problème est simplement que vous ne pouvez pas utiliser les multiplicateurs de Lagrange avec des variables stochastiques sans être explicite sur les différents états de la nature du problème.

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

Starfall

Dans le cas où la terminologie n'est pas claire, , dans ce problème .

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

Starfall

@Starfall hmm ... le problème ici est les distributions réellement suivies, pas la solution ex ante ... Je vais y réfléchir et élaborer plus tard.

Alecos Papadopoulos

J'ai récemment produit un document dérivant la distribution des rendements pour toutes les classes d'actifs et de passifs. Le retour log-normal n'apparaît que dans deux cas. Le premier concerne les obligations à escompte à période unique, le second les fusions de trésorerie contre actions. Cela vient d'une hypothèse, je crois à l'origine de Boness, d'éliminer le problème à Markowitz de prix infiniment négatifs. Bien qu'il ait été dérivé logiquement, il a une hypothèse critique qui le rend généralement faux.

La plupart des modèles financiers supposent que les paramètres sont connus avec probabilité un. Vous n'avez pas besoin d'estimer avec car il est supposé être connu. En surface, ce n'est pas un problème car c'est la méthodologie générale des méthodes basées sur des hypothèses nulles. Vous affirmez qu'un null est vrai et donc les paramètres sont connus et un test est effectué par rapport à ce null. $\mu$ $\bar{x}$

La difficulté survient lorsque les paramètres ne sont pas connus. Il s'avère que la preuve s'effondre sans cette hypothèse, en général. Il en va de même pour Black-Scholes. Je présente un article à la conférence SWFA ce printemps où je soutiens que si les hypothèses de la formule de Black-Scholes sont littéralement vraies, il ne peut pas exister d'estimateur qui converge vers le paramètre de la population. Tout le monde supposait que la formule en parfaite connaissance de cause était égale à l'estimateur de paramètre. Personne n'a jamais vérifié ses propriétés. Dans leur article initial, Black et Scholes ont testé empiriquement leur formule et ils ont rapporté que cela ne fonctionnait pas. Une fois que vous avez abandonné l'hypothèse que les paramètres sont connus, les calculs sortent différemment. Assez différent pour ne pas pouvoir y penser de la même façon.

Prenons le cas d'un titre de participation négocié à la NYSE. Il est échangé dans une double enchère afin que la malédiction du gagnant ne soit pas obtenue. De ce fait, le comportement rationnel consiste à créer un ordre limite dont le prix est égal à . Il y a beaucoup d'acheteurs et de vendeurs, donc le livre limite devrait être statiquement normal, ou du moins il le deviendra à mesure que le nombre d'acheteurs et de vendeurs atteindra l'infini. Donc est statiquement normal à propos de , le prix d'équilibre. $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

Bien sûr, nous avons ignoré la distribution de . Si vous ignorez les fractionnements et les dividendes en actions, alors cela continue d'exister ou non. Vous devez donc créer une distribution mixte pour les retours stock contre stock, les retours cash contre stock et la faillite. Nous ignorerons ces cas par souci de simplicité, bien que cela empêche la possibilité de résoudre un modèle de tarification des options. $(q_t,q_{t+1})$

Donc, si nous nous limitons à et tous les dividendes, alors nos rendements seront le rapport de deux normales sur l'équilibre. J'exclus les dividendes parce qu'ils créent un gâchis et j'exclus des cas tels que la crise financière de 2008 parce que vous obtenez un résultat étrange qui consommerait page après page après page de texte. $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

Simplifions maintenant notre dérivation, si nous traduisons nos données de en et définissons nous pouvons facilement voir la distribution. En l'absence de limitation des engagements ou de contrainte budgétaire intertemporelle, selon un théorème bien connu, la densité des rendements doit être la distribution de Cauchy, qui n'a ni moyenne ni variance. Lorsque vous retransformez tout en espace de prix, la densité devient $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Puisqu'il n'y a pas de moyenne, vous ne pouvez pas répondre aux attentes, effectuer un test à ou F, utiliser n'importe quelle forme de moindres carrés. Bien sûr, ce serait différent s'il s'agissait plutôt d'une antiquité.

S'il s'agissait d'une antiquité lors d'une vente aux enchères, la malédiction du gagnant est obtenue. Le meilleur enchérisseur remporte l'enchère et la densité limite des enchères élevées est la distribution de Gumbel. Donc, vous résoudriez le même problème, mais comme le rapport de deux distributions de Gumbel au lieu de deux distributions normales.

Le problème n'est pas vraiment aussi simple. La limitation de responsabilité tronque toutes les distributions sous-jacentes. La contrainte budgétaire intertemporelle fausse toutes les distributions sous-jacentes. Il existe une distribution différente pour les dividendes, les fusions pour les espèces, les fusions pour les actions ou les biens, la faillite et une distribution Cauchy tronquée pour les entreprises en activité comme ci-dessus. Il existe six types de distributions pour les titres de participation dans un mélange.

Différents marchés avec différentes règles et différents états existentiels créent des distributions différentes. Un vase antique a le cas où il est tombé et se brise. Il a également le cas d'usure ou de tout autre changement de qualité intrinsèque. Enfin, il est également vrai que si suffisamment de vases similaires sont détruits, le centre de localisation se déplace.

Enfin, en raison de la troncature et de l'absence d'une statistique suffisante pour les paramètres, il n'existe pas d'estimateur non bayésien calculable et admissible.

Vous pouvez trouver une dérivation du rapport de deux variables normales et une explication à http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Vous pouvez également trouver ce qui semble être le premier article sur le sujet à l'adresse

Curtiss, JH (1941) Sur la distribution du quotient de deux variables de chance. Annals of Mathematical Statistics, 12, 409-421.

Il existe également un document de suivi

Gurland, J. (1948) Formules d'inversion pour la distribution des ratios. The Annals of Mathematical Statistics, 19, 228-237

Pour la forme autorégressive pour les méthodes Lik vraisemblable et Frequentiste à

White, JS (1958) The Limiting Distribution of the Serial Correlation Coefficient in the Explosive Case. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197,

et sa généralisation par Rao à

Rao, MM (1961) Cohérence et distributions limites d'estimateurs de paramètres dans les équations aux différences stochastiques explosives. Les Annales de la statistique mathématique, 32, 195-218

Mon article prend ces quatre articles et d'autres, tels qu'un article de Koopman et un de Jaynes, pour construire les distributions si les vrais paramètres sont inconnus. Il observe que le livre blanc ci-dessus a une interprétation bayésienne et permet une solution bayésienne même si aucune solution non bayésienne n'existe.

Notez que a une moyenne et une variance finies, mais pas de structure de covariance. La distribution est la distribution sécante hyperbolique. C'est également par un résultat bien connu dans les statistiques. Il ne peut pas vraiment s'agir d'une distribution sécante hyperbolique en raison des cas secondaires tels que la faillite, les fusions et les dividendes. Les cas existentiels sont additifs, mais le log implique des erreurs multiplicatives. $\log(R)$

Vous pouvez trouver un article sur la distribution sécante hyperbolique sur

Ding, P. (2014) Trois occurrences de la distribution hyperbolique-sécante. The American Statistician, 68, 32-35

Mon article est à

Harris, D. (2017) La distribution des retours. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804

Avant de lire le mien, vous devez d'abord lire les quatre articles ci-dessus. Cela ne ferait pas de mal non plus de lire le tome de ET Jaynes. C'est, malheureusement, une œuvre polémique, mais néanmoins rigoureuse. Son livre est:

Jaynes, ET (2003) Théorie des probabilités: le langage des sciences. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207

Dave Harris
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