Préférences de Léontief

Je peux résoudre la plupart des problèmes de maximisation de l'utilité en utilisant mes connaissances mathématiques ... mais pas en ce qui concerne les préférences de Leontief. Je n'ai pas de livre sur lequel m'appuyer (je suis autodidacte), j'aimerais donc vraiment de l'aide. Comment résout-on un problème de maximisation général comme

$$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$$ où est le revenu et est le prix du bien ?$M$$\lambda_i$$i$

Vraiment, tout ce que je sais sur les dérivés et les pentes passe par la fenêtre avec cette fichue chose. Si quelqu'un me disait quels étaient les prix et les revenus, le choix optimal, quand il n'y a que quelques biens, pourrait probablement être trouvé en appliquant simplement le bon sens, mais qu'en est-il du cas général? N'existe-t-il pas de "formule" générale comme il en existe pour les fonctions Cobb Douglas et CES? Existe-t-il une méthode de référence que nous utilisons dans ces cas?

Il manque un opérateur juste avant le crochet. Le problème de maximisation de l'utilitaire est le suivant, Considérez le cas de deux biens avec l'utilité donnée par . Au mieux, que savez-vous de la relation entre et ? Ils doivent être égaux, c'est-à-dire , supposons sans perte de généralité que . Quelle est l'utilité de tels choix de et ? Ce doit être$\min$

$$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$$ $u$$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$$\alpha x_1$$\beta x_2$ $$\alpha x_1 = \beta x_2$$ $\alpha x_1 > \beta x_1$$x_1$$x_2$$\beta x_2$ , ce qui signifie qu'une partie de votre argent est dépensé pour (en supposant que les prix sont strictement positifs) mais cela ne vous donne aucune utilité supplémentaire, et cela ne peut donc pas être un choix optimal de consommation.$x_1$

Il s'ensuit que l'égalité doit se maintenir à un optimum (cela est évident aussi graphiquement). Avec la contrainte budgétaire, cela vous donne deux équations et deux inconnues, qui peuvent être résolues pour une consommation optimale. Une approche similaire peut être appliquée au cas de biens.$n$

Bien sûr, ci-dessus suppose que nous avons affaire à un problème de maximisation d'utilité trivial et que nous ne faisons pas de programmation entière, etc.