Quand peut-on parler en toute sécurité d'une diminution de l'utilité marginale?

Une chose que j'entends beaucoup est la diminution de l'utilité marginale - l'idée étant que les unités supplémentaires d'un bien deviennent progressivement moins attrayantes à mesure que le nombre d'unités de ce bien est déjà plus important.

Cependant, cela m'a toujours mis un peu mal à l'aise en raison de l'ordinalité de l'utilité. Si nous prenons le cas trivial d'un monde dans lequel il n'y a qu'un seul bien utile$u(x)$ satisfaisant $u'(x),\ u''(x)<0$(utilité marginale décroissante) alors il est clairement possible de construire une fonction croissante telle que soit linéaire en . De plus, comme les fonctions d'utilité sont invariantes aux transformations monotones croissantes, est une fonction d'utilité qui représente les mêmes préférences que (mais qui a maintenant une utilité marginale constante). Ainsi, dans un monde avec un seul bien, il semble que cela n'a jamais de sens de parler d'une diminution de l'utilité marginale.$f$$(f\circ u)$$x$$(f\circ u)$$u$

Ma question est la suivante: considérons un marché avec des biens . Existe-t-il une condition formelle permettant de parler en toute sécurité d'une diminution de l'utilité marginale? Autrement dit, existe-t-il une classe de préférences telle que chaque représentation d'utilité valide, , a pour certains ?$L>1$$u(\mathbf{x})$$u_{ii}(\mathbf{x})<0$$i$

Sinon, existe-t-il une preuve simple que, pour , l'existence d'une représentation d'utilité avec pour certains implique nécessairement que toutes les représentations d'utilité ont ?$L>1$$u_{ii}(\mathbf{x})<0$$i$$u_{ii}(\mathbf{x})<0$

La notion d '"utilité marginale" (et donc de diminution de celle-ci) n'a de sens que dans le contexte de l' utilité cardinale .

Supposons que nous ayons un indice d'utilité ordinale , sur un seul bien, et trois quantités de ce bien, , avec . Les préférences se comportent bien et satisfont aux conditions de régularité de référence.$u()$$q_1<q_2<q_3$$q_2-q_1 = q_3-q_2$

C'est l' utilité ordinale . Seul le classement est significatif, pas les distances. Les distances et n'ont donc aucune interprétation comportementale / économique . S'ils ne le font pas, les ratios non plus$u(q_2) - u(q_1)$$u(q_3) - u(q_2)$

Mais les limites de ces ratios lorsque le dénominateur passe à zéro seraient la définition de la dérivée de la fonction . Ainsi, le dérivé est dépourvu d'interprétation économique / comportementale, et donc comparer deux instances de la fonction dérivée ne produirait aucun contenu significatif. $u()$

Bien sûr, cela ne signifie pas que les dérivées de n'existent pas en tant que concepts mathématiques. Ils peuvent exister si remplit les conditions nécessaires à la différenciation. On peut donc se poser la question purement mathématique "sous quelle condition la fonction représentant l'utilité ordinale a une dérivée seconde strictement négative " (ou la Hesse définie négative pour le cas multivarié), en essayant de ne pas l'interpréter comme "l'utilité marginale décroissante" avec un contenu économique / comportemental , mais comme une propriété mathématique qui peut jouer un rôle dans le modèle qu'il examine. $u()$$u()$

Dans un tel cas, nous savons que:
1) Si les préférences sont convexes, l'indice d'utilité est une fonction quasi-concave
2) Si les préférences sont strictement convexes, l'indice d'utilité est strictement quasi-concave

Mais la quasi-concavité est un type de propriété différent de la concavité: la quasi-concavité est une propriété "ordinale" dans le sens où elle est préservée sous une transformation croissante de la fonction.

En revanche, la concavité est une propriété "cardinale", en ce sens qu'elle ne sera pas nécessairement préservée sous une transformation croissante.
Considérez ce que cela implique: supposons que nous trouvons une caractérisation des préférences telles qu'elles puissent être représentées par un indice d'utilité concave en fonction. Ensuite, nous pouvons trouver et implémenter une transformation croissante de cet index d'utilité, qui éliminera la propriété de concavité.

Le fait que vous posiez des questions sur la «sécurité» implique que vous croyez que certains résultats sont en danger. Cette réponse peut être améliorée si vous pouvez spécifier un résultat que vous pourriez avoir en tête. Sinon, prenez comme exemple les premier et deuxième théorèmes du bien-être. Ils ne reposent pas sur une utilité marginale décroissante.

Si vous êtes préoccupé par les résultats sur les préférences par rapport à l'incertitude (idées sur l'aversion au risque, etc.), rappelez-vous que bien qu'une représentation de fonction d'utilité standard des préférences sans incertitude soit unique jusqu'à une transformation monotone positive, une représentation de fonction d'utilité de Von Neumann-Morgenstern des préférences sur l'incertitude n'est unique que jusqu'à des transformations affines positives .

EDIT: Notes supplémentaires.

La définition d'une fonction d'utilité est donnée comme suit (d'après Advanced Microeconomic Theory par Jehle et Reny, 2011):