Les préférences monotones et continues sont-elles nécessairement rationnelles?

Soit $\succsim$ une relation de préférence strictement monotone et continue, et soit $X=\mathbb{R}^{n}$ l'ensemble de consommation.

La rationalité de $\succsim$ impliquée par ces conditions?

Je pense que la transitivité est impliquée par la continuité. Cependant, l'exhaustivité est troublante, car il y a des éléments $x,y \in X$ qui ne peuvent pas être ordonnés par rapport à $\leq$ ou $\geq$ , et donc nous ne pouvons pas utiliser la monotonie pour montrer que $\succsim$ est complet.

J'ai pensé à construire une séquence $x_{n}$ avec $x_{1}=x$ telle que $x_{n} \to y$ et soit $x_{n}\succsim x_{n+1}$ ou $x_{n+1} \succsim x_{n}$ . Ensuite, par transitivité et continuité, nous pourrions montrer que $x$ et $y$ peuvent être ordonnés par rapport à $\succsim$ , mais je ne pense pas qu'il soit possible de construire une telle séquence.

Toute aide serait appréciée, mais veuillez donner des conseils et non des solutions complètes.

microeconomics consumer-theory möbius
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Malheureusement, la transitivité d'une relation ne découle pas seulement de la continuité. Soit R la relation «a une différence strictement inférieure à un». Sur les nombres réels, R est continu mais non transitif.

Giskard

Je suis assez certain que les préférences monotones et continues ne sont pas nécessairement rationnelles.

BB King du

Réponses:

Considérons une relation de préférence dans telle que et $\mathbb{R}^2$ $x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ $x_1\geq y_1$ $x_2\geq y_2$ .

1) Vous pourriez vous demander si cette relation de préférence est strictement monotone et continue.

2) La relation définie ci-dessus est-elle complète?

Ensuite, en accompagnement, vous pourriez également reconsidérer votre affirmation selon laquelle la continuité est la cause de la transitivité.

Remarque: je viens d'écrire celui-ci en particulier dans le but de fournir une expérience de pensée. Plus pour contester votre compréhension. Je ne sais pas si cet exemple répond ou non à votre question.

ramazan
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La question est de savoir si la rationalité est impliquée par la continuité et la monotonie. Pour montrer que ce n'est pas le cas, un contre-exemple suffirait. Nous recherchons donc une relation de préférence intransitive, incomplète, monotone et continue.

Supposons que . Ainsi, nous formons des préférences sur les points d'une ligne de à . Considérons la relation de préférence définie par qui est incomplète sinon. $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Rationalité

La rationalité consiste en l'exhaustivité et la transitivité de la relation de préférence, définies comme suit:

Complétude

Une relation de préférence est complète, si pour tout , nous avons , , ou les deux. $x,y \in X$ $x\succsim y$ $y\succsim x$

$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$ , donc la relation de préférence n'est pas complète.

Transitivité

Une relation de préférence est transitive, si et impliquent . $x\succsim y$ $y \succsim z$ $x\succsim z$

$(1,0)\succsim (.5,.5)$ et maintiennent mais $(.5,.5) \succsim (0,1)$ $(1,0)\not \succsim (0,1)$ , donc la relation de préférence n'est pas transitif.

Continuité

Une relation de préférence est continue si pour toutes les séquences convergeant vers avec nous avons . ${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$ $(x,y)$ $\forall i: x_i \succsim y_i$ $x \succsim y$

La relation de préférence ne viole pas la continuité. Considérons une séquence qui converge vers . Ces séquences ne peuvent être telles que et et , car tous les autres ne convergent pas vers ou ne remplissent pas . Mais clairement si alors . $x_i \succsim y_i$ $x,y$ $x_i=x$ $y_i=y$ $x\neq y$ $x_i,y_i$ $x,y$ $x_i \succsim y_i$ $x_i\succsim y_i$ $x\succsim y$

Monotonicité

Une relation de préférence est monotone, si implique . $x \geq y$ $x \succsim y$

La relation considère tous les éléments de incomparables, donc la relation de préférence est monotone. $\geq$ $X$

Ainsi, nous avons une relation de préférence intransitive, incomplète, monotone et continue.

HRSE
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Je suppose que , mais même ainsi, la définition de votre relation semble incomplète. Qu'est-ce qui est préféré, (0,1,0,9) ou (0,1)? (Et qu'en est-il des autres paires?) Par entre (0,5,0,5) et (0,1), voulez-vous dire ?

x \leq 1, y \leq 1

$x \leq 1, y \leq 1$

⪰

$\succeq$

\sim

$\sim$

Giskard

Merci d'avoir signalé l'erreur de frappe. En ce qui concerne les commentaires restants sur la fourniture d'une relation incomplète: c'est exactement le point. Nous recherchons une relation de préférence intransitive + incomplète, mais à la fois monotone et continue. Si nous commençons avec une relation de préférence complète, cela irait à l'encontre du but.

HRSE

Je vois. Donc, vous voulez dire que la relation n'est définie exactement là où vous l'avez définie. Ce n'est pas toujours le cas. Ex: 3 <5, mais la relation aussi où je ne l'ai pas définie.

Giskard

une relation n'est toujours "définie que là où on la définit". Formellement, une relation est un sous-ensemble du produit cartésien d'un ensemble. Pour la définition de la relation, la spécification de ce sous-ensemble est suffisante. Ainsi, vous pouvez définir la relation <sur les nombres réels tels que 3 <5. Cela ne correspondra pas à la définition habituelle, mais c'est néanmoins une spécification valide d'une relation (incomplète).

HRSE

D'accord, je vais reformuler mon commentaire: j'ai pensé que vous aviez simplement donné quelques exemples sur le fonctionnement de votre relation et non une définition exacte, mais maintenant je comprends ce que vous vouliez dire.

Giskard

Transitivité des appels de préférences à une notion de « intuitive » de « la cohérence de l' esprit humain » et on peut faire valoir que les exceptions sont les « exceptions à la règle », et nous faisons ont une règle abstraite adéquate.

En comparaison, l'exhaustivité est beaucoup plus un "acte de foi". Il flotte dans l'air, issu de rien, lié à rien ( donc la réponse à votre question est non ). Peut-être que cela peut être étayé par une remarque vulgaire: "si vous appuyez suffisamment sur une personne, elle finira par commander n'importe quelle paire que vous mettrez devant lui, ne serait-ce que pour vous débarrasser de vous", mais bien sûr, tout en regardant bon en pratique, ne fonctionnera jamais en théorie.

Nous définissons donc simplement l'exhaustivité pour exister ... pourquoi? Afin d'éviter des problèmes plutôt ingérables sur la route. Dans quelle mesure sera-t-il utile de travailler avec des préférences non complètes? Serait-il utile de dire "J'ai ce modèle, il peut en résulter, il peut ne pas l'être, selon que les préférences sont complètes ou non" ... à quoi ça sert? Nous serions alors obligés de trouver une règle de décision alternative : "En supposant que les préférences ne sont pas complètes, alors si la personne rencontre une paire qu'elle ne peut pas commander ..." -il fait quoi ? Lancer une pièce? Mais cela rendrait "l'incomplétude" équivalente à l'indifférence ...

Quoi d'autre? Cette ligne de pensée peut être très stimulante, mais elle est également très difficile, et certainement révolutionnaire, si en effet, un tel chemin existe ou peut être créé. (À mon avis, diverses explorations théoriques de la variété «floue» tentent de trouver une «voie médiane» pour exactement ce problème - où elles envisagent une situation où la personne n'a pas de préférences complètes, ni n'est complètement «gelée» lorsqu'une «difficulté "paire arrive).

Alecos Papadopoulos
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