Homogène de degré un dans la fonction d'utilité.

Question

Ma solution est la suivante. Veuillez vérifier ma solution. Si je fais une erreur, dites-le moi. Je ne suis vraiment pas sûr de ma solution. Je vous remercie

U (x) est homogène de degré un, c'est-à-dire que u (tx) = tu (x)

Premièrement, je montre que la fonction d'utilité indirecte est homogène de degré un en m.

Par la maximisation de l'utilité,

V (p, m) = max u (x) sous réserve de px m$\le$

tv (p, m) = max tu (x) sous réserve de px m$\le$

Puisque u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) soumis à px m$\le$

Alors v (p, tm) = tv (p, m)

C'est-à-dire que la fonction d'utilité indirecte est homogène de degré un.

Je montre que la fonction de dépense est homogène de degré un en u en utilisant le résultat précédent.

je le sais

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Puisque u (x) est homogène de degré un et v (p, m) est homogène de degré un en m, v (p, e (p, u)) doit être homogène de degré un en e (p, u) .

En d'autres termes, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) est valable si e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

c'est-à-dire que la fonction chère e (p, u) est homogène de degré un en u.

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Je vais maintenant montrer que la demande marshallienne x (p, m) est homogène de degré un en m.

Par l'identité de Roy,

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

Par le premier résultat, puisque v (p, m) est homogène de degré un en m, alors x (p, m) est homogène de degré un en m.

permet maintenant de montrer que la demande hicksienne est homogène de degré un en u.

je le sais

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Puisque e (p, u) est homogène de degré un par la deuxième partie,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) doit tenir puisque l'égalité (1) existe.

C'est-à-dire que la demande hicksienne est homogène de degré un en u.

$v(p,m)$$m$$e(p,u)$$u$

$$v(p,e(p,u))=u,$$ $u$$u(x)$

$v(p,m)$$m$

$$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ $v(p,e(p,u))=u$ $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ $e(p,u)$$u$

$$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$$