PBE à prendre ou à laisser

9

J'ai trouvé une question intéressante sur l'équilibre parfait bayésien. Je n'ai pas vu de question où les croyances ne sont pas discrètes.

Il y a un seul acheteur potentiel d'un objet qui n'a aucune valeur pour le vendeur. L'évaluation v de cet acheteur est uniformément répartie sur [0, 1] et est une information privée. Le vendeur nomme un prixp1 que l'acheteur accepte ou rejette.

S'il accepte, l'objet est échangé au prix convenu et le paiement de l'acheteur est vp1 et le vendeur est p1.

S'il rejette, le vendeur fait une autre offre de prix, p2. Si l'acheteur l'accepte, son gain est deδ(vp2) et le vendeur est δp2, où δ=0.5.

S'il rejette, les deux joueurs obtiennent zéro (il n'y a plus d'offre).

Trouvez un équilibre bayésien parfait.

Mon approche habituelle est de fixer les croyances, mais je ne sais pas très bien comment le faire avec des croyances continues. Aucun conseil?

Brian
la source
Désolé, je ne pouvais pas penser à un moyen facile de donner des conseils partiels. C'est un bel exercice. Cela vous dérangerait (ou le créateur) si je l'utilisais en classe?
Giskard
Bien sûr, n'hésitez pas!
Brian

Réponses:

6

Hier, après avoir publié une mauvaise solution, je pense que j'en ai trouvé une meilleure

La stratégie de l'acheteur comprend deux fonctions, (f1(v,p1),f2(v,p1,p2)) où les deux fonctions correspondent à {A,R} (où A signifie Accepter, Rpour rejeter). La stratégie du vendeur est(p1,p2(F1(v,p1))). Vous obtenez la solution par induction vers l'arrière. Dans PBEF2(v,p1,p2) correspond à UNE si et seulement si vp2. (Il y a une marge de manœuvre sans conséquence en matière d'égalité.) Dans PBE, le vendeur estime qu'il existe un ensembleH des types pour lesquels l'acheteur a refusé son offre p1. alors

p2=argmaxp2p2Prob(F2(v,p1,p2)=UNE|F1(v,p1)=R).
L'acheteur acceptera l'offre si et seulement si De là, vous obtenez Le côté gauche de cette équation augmente en , donc les types avec une évaluation élevée accepteront. Cela signifie que dans PBE, l'ensemble est tel que De là, nous obtenons le optimal donné : Dans PBE est une fonction de : p1
v-p1δ(v-p2).
v(1-δ)p1-δp2.
vH
H=[0,v¯).
p2v¯
p2=argmaxp2p2Prob(vp2|v[0,v¯))=v¯2.
v¯p1
v¯(1-δ)=p1-δv¯2,
donc Nous avons déterminé toutes les stratégies PBE sauf . Le gain attendu du vendeur est où En substituant cela, nous obtenons
v¯=p11-δ2.
p1
p1(1-p1-δp2(v¯(p1))1-δ)+12p2(v¯(p1))(p1-δp2(v¯(p1))1-δ-p2(v¯(p1))),
p2(v¯(p1))=v¯(p1)2=p11-δ22=p12-δ.
p1(1-p1-δp12-δ1-δ)+12p12-δ(p1-δp12-δ1-δ-p12-δ),

Vous devez maximiser ce wrt . Avec j'ai eu p1δ=0,5

p1=920,v¯=35,p2=3dix.
Giskard
la source
J'ai l'impression que cette question peut également être interprétée comme une entreprise essayant de filtrer les consommateurs de différentes évaluations représentées comme l'intervalle unitaire fermé. Le système de tarification optimal consiste à fixer deux prix de manière à ce que les clients dont les évaluations sont élevées paieront à un prix plus élevé au premier stade, et certains de ceux à faibles évaluations paieront à un prix inférieur au deuxième stade.
Metta World Peace
Vous devez expliquer pourquoi les services publics sont différents au deuxième tour. Pour le vendeur, cela pourrait être une simple remise, mais pour l'acheteur? Si le bien était durable, les types qui achètent le bien bénéficieraient de certains avantages lors des deux tours.
Giskard
1
Je ne suis pas tout à fait. Pourquoi les acheteurs ne peuvent pas escompter l'utilité dérivée au deuxième tour? Cela peut être interprété comme un écrémage des prix sur deux périodes, non?
Metta World Peace
Gênant mais je n'ai jamais entendu parler de ce modèle jusqu'à présent. Vous avez raison, cela décrit bien le jeu ci-dessus.
Giskard
Vous avez dit que l'acheteur acceptera si et seulement si mais l'acheteur ne rejettera-t-il pas si et sont supérieurs à , que l'inégalité ci-dessus soit satisfaite ou non? p1
v-p1δ(v-p2)
p1p2v
Franklin Pezzuti Dyer