PBE à prendre ou à laisser

J'ai trouvé une question intéressante sur l'équilibre parfait bayésien. Je n'ai pas vu de question où les croyances ne sont pas discrètes.

Il y a un seul acheteur potentiel d'un objet qui n'a aucune valeur pour le vendeur. L'évaluation v de cet acheteur est uniformément répartie sur [0, 1] et est une information privée. Le vendeur nomme un prix$p_1$ que l'acheteur accepte ou rejette.

S'il accepte, l'objet est échangé au prix convenu et le paiement de l'acheteur est $v − p_1$ et le vendeur est $p_1$.

S'il rejette, le vendeur fait une autre offre de prix, p2. Si l'acheteur l'accepte, son gain est de$\delta_(v − p_2)$ et le vendeur est $\delta p_2$, où $\delta = 0.5$.

S'il rejette, les deux joueurs obtiennent zéro (il n'y a plus d'offre).

Trouvez un équilibre bayésien parfait.

Mon approche habituelle est de fixer les croyances, mais je ne sais pas très bien comment le faire avec des croyances continues. Aucun conseil?

Hier, après avoir publié une mauvaise solution, je pense que j'en ai trouvé une meilleure

La stratégie de l'acheteur comprend deux fonctions, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ où les deux fonctions correspondent à $\left\{A,R\right\}$ (où $A$ signifie Accepter, $R$pour rejeter). La stratégie du vendeur est$(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$. Vous obtenez la solution par induction vers l'arrière. Dans PBE$f_2(v,p_1,p_2)$ correspond à $A$ si et seulement si $v \geq p_2$. (Il y a une marge de manœuvre sans conséquence en matière d'égalité.) Dans PBE, le vendeur estime qu'il existe un ensemble$H$ des types pour lesquels l'acheteur a refusé son offre $p_1$. alors

$$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$$ L'acheteur acceptera l'offre si et seulement si De là, vous obtenez Le côté gauche de cette équation augmente en , donc les types avec une évaluation élevée accepteront. Cela signifie que dans PBE, l'ensemble est tel que De là, nous obtenons le optimal donné : Dans PBE est une fonction de : $p_1$ $$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$$ $$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$$ $v$$H$ $$H = [0, \bar{v}).$$ $p_2$$\bar{v}$ $$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$$ $\bar{v}$$p_1$ $$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$$ donc Nous avons déterminé toutes les stratégies PBE sauf . Le gain attendu du vendeur est où En substituant cela, nous obtenons $$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$$ $p_1$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$$ $$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$$

Vous devez maximiser ce wrt . Avec j'ai eu $p_1$$\delta = 0.5$

$$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$$