Osborne, les équilibres de Nash et l'exactitude des croyances

Dans Anborne to Game Theory Nash, l'équilibre d' Osborne est décrit comme suit (p. 21-22):

Tout d'abord, chaque joueur choisit son action selon le modèle de choix rationnel, compte tenu de ses convictions sur les actions des autres joueurs. Deuxièmement, la croyance de chaque joueur sur les actions des autres joueurs est correcte.

Il me semble que cette définition n'est pas complètement équivalente à la définition habituelle de l'équilibre de Nash en tant que profil de stratégie où la stratégie de chaque joueur est la meilleure réponse aux stratégies des autres.

La définition habituelle ne dit rien sur les croyances et permet donc la possibilité que les croyances soient incorrectes.

Pour prendre une possibilité triviale, considérons le dilemme du prisonnier. Supposons que chaque joueur pense que l'autre joueur ne se confessera pas. Étant donné que la confession est une stratégie dominante, chaque joueur avouerait toujours. Les actions constituent donc un équilibre de Nash même si les croyances des joueurs sont complètement à l'opposé des actions d'équilibre réelles.

Ai-je raison de comprendre que la définition d'Osborne caractérise autre chose que l'équilibre de Nash?

Introduire le langage des croyances ici est un peu étrange, étant donné que les croyances ont une signification très spécifique dans d'autres parties de la théorie des jeux.

$a_i$$i$$1-a_i$

$i$$\{a_j\}_{j\neq i}$$a_i\rightarrow 1$$i$

$i$

• Si le jeu est souvent joué (en mettant de côté les problèmes d'autres résultats qui peuvent être maintenus dans les jeux répétés), nous pouvons penser que Nash est un équilibre dans le sens où si nous y convergeons, nous pouvons développer une norme par laquelle les gens continuent jouer cet équilibre indéfiniment (et s'attendre à ce que les autres fassent de même).
• Si le jeu est vraiment à un coup, nous invoquons généralement l'idée que les joueurs vont essayer de prédire ce que les autres feront - et notre notion d'équilibre intègre l'idée que ces prédictions doivent être correctes.

Il semble que les prédictions du deuxième point correspondent aux «croyances» invoquées par Osborne. Cependant, il est important de souligner que ces prédictions / "croyances" ne sont qu'un outil informel / intuitif pour nous aider à conceptualiser ce qui se passe dans un équilibre et ne font pas partie de la définition d'un tel équilibre. Le concept d'équilibre de Nash lui-même est complètement agnostique sur la notion de croyances (comme vous le remarquez dans un commentaire, il n'est défini que par des actions), c'est pourquoi, quand Osborne continue à définir formellement l' équilibre de Nash, il le fait sans invoquer le idée des croyances du tout.

L'introduction de la croyance rend le concept de NE comparable à d'autres concepts de raffinement tels que PBE et l'équilibre séquentiel, mais la signification de NE n'est pas modifiée.

Le micro manuel de troisième cycle de Mas-Colell, Whinston et Green (MWG) a un résultat pour cela

$\sigma$$\Gamma_E$$\mu$

1. $\sigma$$\mu$ $H$$\Pr(H|\sigma)>0$
2. Le système de croyances est dérivé du profil de stratégie travers la règle de Bayes chaque fois que possible.$\mu$$\sigma$

Ainsi, l'exemple du dilemme du prisonnier que vous donnez lorsque les joueurs ont des croyances opposées à ce que la stratégie réelle de l'adversaire échoue à la deuxième condition, qui exige que les croyances soient dérivées de la règle de Bayes dans la mesure du possible. En fait, c'est l'équivalent mathématique de la deuxième exigence de la définition d'Osborne: que la croyance d'un joueur sur les actions des autres joueurs est correcte.

L'exemple de dilemme de votre prisonnier ne fonctionne que parce que c'est un jeu avec des stratégies dominantes. Osborne a raison.

Pour mieux répondre à la stratégie d'un autre joueur, comme dans la définition que vous donnez, je dois connaître sa stratégie. En d'autres termes, je dois avoir des croyances sur ce qu'ils font, et ces croyances doivent être correctes. Il s'agit d'un renforcement du concept de rationalisation.

Vous faites un point intéressant sur la façon dont vous pouvez obtenir d'étranges «équilibres» dans les jeux avec des stratégies dominantes. Cela équivaut à un résultat équivalent et où pourrait être erroné et un poids positif à des stratégies non rationalisables. Mais, je n'ai jamais vu d'équilibre de Nash qui comprenait des croyances. Les définitions dont je me souviens sont: "un profil de stratégie est un équilibre de Nash si$(\sigma,\mu_1)$$(\sigma,\mu_2)$$\mu_2$$\sigma\in \Sigma$$\sigma_i\in B_i(\sigma_{-i})$... "Je crois que cela signifie que la définition des croyances n'est pas nécessaire, car les croyances sont exactement une évaluation correcte du profil de stratégie. Le référencement, un de mes livres, donne la définition habituelle avec une citation de Nash (1950), et Ensuite, nous discutons de deux hypothèses sous-jacentes: l'une est la croyance correcte et l'autre le jeu rationnel étant donné ces croyances correctes.

Je répète peut-être des choses qui ont été dites auparavant, mais voici mon point de vue à ce sujet.

Je pense que nous sommes confrontés à un problème habituel lors de la comparaison de deux modèles différents. Ce que signifie une «équivalence» n'est pas complètement évident parce que les deux définitions se trouvent dans des mondes différents ou des modèles différents. Cependant, si "l'équivalence" est correctement définie, je pense que l'on peut donner un sens à la définition d'Osborne et montrer qu'elle est en effet "équivalente" à un NE.

Le concept de solution sous-jacent à la section citée ressemblerait à ceci:

Équilibre de croyance (BE):> Un profil de stratégie et un profil de croyance dans lequel pour tout acteur$s^*$$b^*$$i$

$$u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ et $$b^*_i = s^*_{-i}$$

Maintenant, le problème si nous voulons arriver à une déclaration "d'équivalence" est que d'une part, nous avons l'EB qui "vit" dans un monde avec ... des croyances, et de l'autre la notion NE qui vit dans un monde ... exempt de croyances. Que signifierait donc une déclaration d'équivalence comme "NE BE"?$\Leftrightarrow$

1) BE NE$\Rightarrow$

Cette direction de l'implication n'est probablement pas controversée, car nous passons d'un modèle plus complexe à un modèle plus simple. "Chaque BE est un NE" devrait signifier que si nous regardons le profil de stratégie d' équilibre d'un BE seul (c'est-à-dire sans son profil de croyance ), il devrait être un NE. On peut vérifier que c'est le cas.$p$

2) NE BE$\Rightarrow$

Ceci est la partie délicate. Qu'est-ce que cela signifie que "chaque NE est un BE"? Certainement pas que "un NE plus n'importe quel profil de croyance est un BE", comme l'OP l'a montré avec son contre-exemple. Pourtant, il est vrai que «tout élément NE peut devenir un BE pour un profil de croyance ». Je pense que c'est dans ce sens qu'il faut comprendre la revendication d '"équivalence" d'Osborne

Notez que nous avons également la déclaration suivante, qui ressemble davantage à une "équivalence": "Un résultat du jeu est un résultat NE si et seulement s'il s'agit d'un résultat BE".