Préférence sur les loteries sans axiome d'indépendance

Supposons un ensemble de résultats peuvent être classés dans l'ordre suivant: 1 \ 2 succ \ succsim \ cdots \ succsim N . De plus, supposons qu'un décideur préfère les loteries à ces résultats. Supposons que la préférence par rapport aux loteries soit rationnelle, continue, mais pas nécessairement compatible avec l'axiome d'indépendance .$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

S'ensuit-il que la meilleure loterie dans ce cas est la loterie dégénérée $(1,0,\dots,0)$ ?

Et si l'axiome de l'indépendance est violé ?

Non pas forcément. Sans l'axiome d'indépendance (ou autre chose pour le remplacer), il n'y a pas grand-chose que vous pouvez déduire sur les préférences par rapport aux loteries (non dégénérées) en ne connaissant les préférences que sur les résultats.

Par exemple, soit la probabilité des résultats . Ensuite, les préférences sur les loteries représentées par la fonction utilitaire$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

sont continus et rationnels, mais ne satisfont pas à l'axiome d'indépendance. Pour suffisamment grand, il n'est même pas vrai que soit la meilleure loterie, bien que et .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Pour voir pourquoi, observez que

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Cependant, pour ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

La violation de l'axiome d'indépendance peut être constatée du fait que, lorsque ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

bien que

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$