Linéarisation logarithmique de l'équation d'Euler avec un terme d'espérance

Il existe quelques ressources en ligne disponibles pour aider à la linéarisation des journaux (par exemple ici ou ici ). Cependant, la linéarisation des journaux lorsqu'une attente est impliquée est un peu délicate car le journal ne peut pas simplement "passer" par l'opérateur d'attente. Quelqu'un pourrait-il aider avec l'algèbre dans cet exemple?

J'ai l'équation d'Euler (équation 1) où . J'essaie de dériver une expression pour le taux sans risque et une expression pour la prime de fonds propres. Comment dois-je procéder?

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Il semble à partir du deuxième lien ci-dessus que je devrais commencer par remplacer les variables d'intérêt comme . Ensuite, en suivant les étapes données, il semble que je devrais arriver à (équation 2)$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

Mais où dois-je aller d'ici?

ÉDITER:

1. J'ai copié l'équation 1 directement à partir des notes que j'ai. Il est probable que le terme à droite, , soit entre parenthèses, . Dans ma première tentative de linéarisation des journaux, je l'ai traité de cette façon. ( 1 + R i , t + 1$1 + R_{i,t+1}$$(1 + R_{i,t+1})$

2. Dans l'équation 2, j'ai suivi les étapes de l'instruction qui peuvent être trouvées dans le deuxième lien au début. Ainsi, et sans indice de temps sont ces valeurs à l'état stationnaire.R $R_i$$R_m$

3. R i$R_m$ est le rendement du portefeuille de marché et est le rendement de l'actif .$R_i$$i$

EDIT 2:

Merci pour les commentaires utiles. Donc, d'après ce que j'ai rassemblé jusqu'à présent, je devrais obtenir quelque chose comme ceci:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

Cela impliquerait alors que le taux sans risque se présente comme suit:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

Est-ce correct? Et maintenant, pour terminer la question, comment trouver la prime de fonds propres?

Ignorons pour le moment l'existence de la valeur attendue. S'il s'agissait d'une configuration déterministe, la linéarisation par la prise de journaux serait simple et sans les astuces des liens fournis par l'OP. En prenant des journaux naturels des deux côtés de la première équation, nous obtenons:

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

Ensemble

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

Notez également que c'est une approximation standard d'écrire au moins pour . C'est généralement le cas pour les taux de croissance et les taux financiers, nous obtenons donc$\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

qui est une relation dynamique claire qui relie les trois variables présentes. Si dans le modèle, l'état stationnaire est caractérisé par une consommation constante et des rendements constants, alors nous aurons et donc la relation d'état stationnaire sera$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

Mais nous avons fait tout cela en ignorant la valeur attendue. Notre expression est , pas seulement . Entrez l'expansion de Taylor de premier ordre de . Nous avons besoin d'un centre d'expansion. Représentez les quatre variables simplement par (cela ne fait pas de mal qu'une variable avec -index soit présente dans ). Nous choisissons d'étendre la fonction autour de . Donc$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$$f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$$f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

ensuite

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

Évidemment, il s'agit d'une approximation, c'est-à-dire qu'il y a une erreur, ne serait-ce qu'en raison de l'inégalité de Jensen. Mais c'est une pratique courante. Ensuite, nous voyons que tout le travail précédent que nous avons fait sur la version déterministe, peut être appliqué dans la version stochastique en insérant des valeurs attendues conditionnelles à la place des variables. Donc, eq. est écrit$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

Mais où sont les valeurs en régime permanent ? Eh bien, les valeurs en régime permanent dans un contexte stochastique sont un peu délicates - est-ce que nous soutenons que nos variables (qui sont maintenant traitées comme des variables aléatoires) deviennent des constantes ? Ou existe-t-il une autre façon de définir un état stationnaire dans un contexte stochastique?

Il existe plusieurs façons. L'un d'eux est "l'état d'équilibre de prévision parfaite", où nous prévoyons parfaitement une valeur pas nécessairement constante (c'est le concept de "l'équilibre en tant qu'espérances satisfaites"). C'est par exemple utilisé dans le livre de Jordi Gali mentionné dans un commentaire. "L'état d'équilibre parfait" est défini par

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

Selon ce concept, l'éq. devient eq. qui est maintenant l'équation "d'état stationnaire stochastique de prévision parfaite" de l'économie.$(7)$$(3)$

Si nous voulons une condition plus solide, en disant que les variables deviennent constantes à l'état stationnaire, alors il est également raisonnable de dire que, encore une fois, leur prévision sera finalement parfaite. Dans ce cas, l'état stationnaire de l'économie stochastique est le même que celui de l'économie déterministe, c'est-à-dire l'éq. .$(4)$

L'approximation correcte est . Ceci est sans biais, alors que ne l'est pas. Pour voir cela, projetez sur , où la "barre" représente l'opérateur d'attente. Ensuite, approximez Cette approximation est exacte lorsque est normalement distribué (par le lemme de Stein).$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

ÉDITER:

Pour plus de précision, voir que la projection de sur nous donne , où et . Si nous utilisons le lemme de Stein pour approximer comme décrit ci-dessus, nous nous retrouvons avec qui est sans biais, Par contre, $f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

Votre problème ressemble à une équation de tarification des actifs avec des préférences récursives (Epstein-Zin). Lorsque l'on s'intéresse aux prix des actifs, il faut faire attention à la linéarisation "macroéconomique" habituelle. Une telle approximation est équivalente à la certitude, ce qui signifie que les coefficients de la solution linéarisée ne dépendent pas de la taille des chocs. De plus, toutes les variables d'une solution linéarisée fluctueront autour de leurs états stationnaires déterministes. En conséquence, les primes de risque sont nulles, ce qui défie le point.

Une solution consiste à utiliser des méthodes de perturbation d'ordre supérieur (2e ordre pour obtenir des primes de risque constantes, 3e ordre pour des primes variant dans le temps). Cela est facile à faire avec un logiciel existant (par exemple Dynare) si vous souhaitez de toute façon résoudre le modèle numériquement (auquel cas il n'est pas non plus nécessaire de linéariser manuellement). Si au lieu de cela une solution analytique (approximative) est préférée, la manière habituelle est de linéariser la dynamique des quantités (par exemple la croissance de la consommation), puis d'obtenir les prix des actifs directement à partir de l'équation d'Euler, en calculant les attentes en utilisant l'hypothèse de lognormalité, comme dans Bansal et Yaron (2004) .

Par exemple, si les variables en minuscules sont des journaux, l'équation d'Euler habituelle peut être réécrite comme

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

Si sont (conditionnellement) conjointement normaux, ce qui précède implique$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

Le taux sans risque doit satisfaire , ou$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

et donc nous devons avoir

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

Pour calculer réellement les prix des actifs, il faudrait alors

• exprimer log-SDF comme une fonction linéaire de certaines variables d'état et chocs (par exemple, la croissance de la consommation de log dans le cas de la CRRA)

• linéariser le rendement en termes de rapport log dividende-prix (approximation de Campbell-Shiller), le remplacer par (1).

• exprimer le rapport log D / P comme linéaire dans les variables d'état, puis utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour obtenir une solution qui satisfasse (1).

Dans la pratique, c'est un peu plus compliqué (en particulier avec les préférences EZ, quand on doit d'abord utiliser l'approche pour dériver le rendement du marché qui entre dans SDF, puis la deuxième fois pour les autres rendements), mais plus de détails peuvent être trouvés par exemple dans le Bansal & Yaron lié papier.