Diagonal Strict Concavity Condition de Rosen

Considérons un jeu avec joueurs, avec un espace de stratégie , où est borné, et du joueur gain fonction . La condition de Rosen ( JB Rosen. L'existence et l'unicité des points d'équilibre pour les jeux concaves à n joueurs . Econometrica, 33 (3): 520-534, 1965 ) pour le caractère unique du jeu Nash Equilibrium in n players indiquant que l'équlibrium sera unique lorsque $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

fonction de paiement est concave dans sa propre stratégie $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Il existe vecteur ( de telle sorte que la fonction est strictement concave en diagonale $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

désigne l'ensemble des joueurs. $N$

Pour définir la notion de concavité stricte diagonale, poing introduire 'pseudogradient' de la fonction , définie par: $\sigma$ Ensuite,fonctionest ditediagonale strictement dominanteenpour fixesi pour touton a:

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium Nidjsi
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