Propriétés MSO, graphiques planaires et graphiques sans mineur

Le théorème de Courcelle stipule que chaque propriété de graphe définissable en logique monadique du second ordre peut être décidée en temps linéaire sur des graphes de largeur d'arbre bornée . C'est l'un des méta-théorèmes algorithmiques les plus connus.

Motivé par le théorème de Courcelle, j'ai fait la conjecture suivante:

Conjecture : Soit toute propriété définissable par MSO. Si est résoluble en temps polynomial sur les graphes planaires, alors est résoluble en temps polynomial sur toutes les classes de graphes sans mineur.$\psi$$\psi$$\psi$

Je veux savoir si la conjecture ci-dessus est manifestement fausse, c.-à-d. Y a-t-il une propriété définissable par MSO qui est soluble dans le temps polynomial sur les graphes planaires mais NP-dure sur une classe de graphes sans mineur?

C'est la motivation derrière ma question précédente : Y a-t-il des problèmes qui sont résolus polynomialement sur les graphiques du genre g mais NP-dur sur les graphiques du genre> g.

Etre 4 couleurs? Certainement MSO, et trivial sur les graphes planaires. Il est NP-complet pour une clique mineure suffisamment grande interdite, par réduction à la colorabilité planaire 3.