KBN vs K échec et mat sur les cartes non standard

Je sais comment gagner la finale avec l'évêque et le chevalier, mais c'est un processus glissant et semble être à peine une victoire, le roi ennemi s'échappant presque. Pour cette raison, je suis curieux de connaître la fin de partie sur d'autres tailles de carte et si cela sera toujours possible dans le cas général d'une carte MxN. Par exemple:

• Y a-t-il une victoire forcée sur une planche 10x10?
• Y a-t-il une victoire forcée sur un tableau 7x7, avec un évêque de la «mauvaise» couleur? (c'est-à-dire un évêque qui ne peut pas attaquer les coins)

Supposons que la règle des 50 coups ne s'applique pas.

En fait, l'évêque et le chevalier ne sont pas aussi glissants qu'il n'y paraît. J'ai vérifié cela sur un programme de base que j'ai écrit. Sur une planche de 10x10, le côté avec l'évêque et le chevalier (disons blanc) peut forcer le compagnon à au plus 47 mouvements. Les blancs peuvent même forcer le mat sur une planche 16x16, en 93 mouvements au maximum. Je crois que le compagnon peut être forcé sur une planche arbitrairement grande.

Tout d'abord, sur un tableau de taille étrange, j'ai confirmé que le blanc ne peut pas forcer le compagnon si l'évêque n'est pas de la bonne couleur. Le partenaire ne peut être forcé que dans un bon coin (celui que l'évêque contrôle), donc s'il n'y a pas de bons coins, le partenaire ne peut pas être forcé.

Sur la planche 10x10, ce qui suit est un compagnon optimal en 47. La position de départ est W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13. Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 25.Bg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 37.Bd4 Kd1 38. Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #

Après 23. Nf2, nous avons une position similaire à celle indiquée dans la réponse d'Andrew (mais à l'envers: W: Kg3, Bj2, Nf2; B: Ke2). Si nous fabriquons ce tableau 8x8 en supprimant les colonnes a et b (et les lignes 9 et 10), ce serait mate en 14, mais ici c'est mate en 25. Dans la ligne optimale ci-dessus, le roi noir n'essaie jamais vraiment de s'échapper vers le coin a10. Disons qu'il le fait, avec 23. ... Kd2 24. Bf6 Kc2 . Ce coup raccourcit le second d'un coup, avec la poursuite de 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6 .

Le roi noir ne peut s'échapper que jusqu'à a6, et est finalement toujours piégé dans le bon coin a1. Le reste de cette suite est 31. ... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3 #

Voici le nombre de mouvements pour forcer l'accouplement sur chaque planche de taille égale de 4 à 16. 4: 15; 6: 22; 8: 33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Notez que sur n'importe quel tableau de taille, il y a une poignée de positions qui sont tirées car les noirs peuvent gagner un morceau immédiatement.

Ce qui suit est un compagnon optimal en 92 sur une carte 16x16. La position de départ est à nouveau W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13. Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke14 Kd16 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.Kd4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc5 Ka2 81.Kc4 Kb1 82.Kc3 Kc1 83.Nd6 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Nc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #

Il est long, mais le jouer m'a certainement convaincu que le blanc pouvait forcer le mate sur une planche arbitrairement grande. Dans la première phase, le roi blanc et l'évêque peuvent attacher le roi noir tout en achetant des tempi pour que le chevalier blanc le rattrape. Une fois que le roi noir est piégé dans le mauvais coin (a16 dans ce cas), il est mélangé dans le fichier A avec très peu de marge de manœuvre. Bien que la procédure soit beaucoup plus compliquée qu'une manœuvre W, le blanc semble toujours être en contrôle total.

Commençons par la question 7x7:

Y a-t-il une victoire forcée sur un tableau 7x7, avec un évêque de la «mauvaise» couleur?

Cela semble être la plus facile des deux questions à répondre. Tout d'abord, assurez-vous que c'est le seul motif d'accouplement (le roi noir pourrait également être sur le carré sombre immédiatement à sa gauche):

Le point clé est qu'il n'est pas possible pour le blanc de forcer cette position. Le roi des Noirs aurait été bloqué lors du coup précédent. Alternativement, si le roi des noirs est déplacé d'une case vers la gauche, le seul mouvement légal que les blancs auraient pu jouer serait de déplacer l'évêque sur cette diagonale, livrant le compagnon. Si tel était le cas, où était le roi des noirs avant cela? Il aurait été sur f2 (deux à gauche, un vers le haut). Donc, le noir n'a pas été forcé de se déplacer dans le coin et aurait pu à la place éviter le compagnon. Pour conclure, il n'y a aucun moyen de forcer le partenaire dans le mauvais coin, raccourcir la planche ne change rien à ce fait.

Maintenant la première question:

Y a-t-il une victoire forcée sur une planche 10x10?

Dans ce cas, le blanc aura un coin correct, mais supposons que le blanc puisse forcer le roi noir dans le mauvais coin. Sur la carte standard 8x8, le blanc doit libérer le roi de côté pour quelques mouvements dans le processus de conduite du roi vers le coin d'accouplement (voir wikipedia pour un tutoriel complet). Voici la position normale lorsque le noir fuit le bord (temporairement):

Les noirs jouent généralement ...Kc6et ensuite, après que Bd3!le roi n'a pas échappé. Sur une planche 10x10, cependant, le noir peut jouer ...Kb7suivi de ...Ka7et enfin ...Kz6(appelons le premier fichier à gauche "z"). Les blancs n'ont aucun moyen d'obtenir le roi et le chevalier pour aider à empêcher le roi noir d'échapper au lien. Encore une fois, c'est une bonne chose que la planche ne soit que 8x8 sinon l'évêque et le chevalier n'auraient jamais pu accoupler le roi!

_{Avis de non-responsabilité: je n'ai prouvé aucune de mes affirmations avec des bases de table}

Il y a évidemment de nombreuses victoires forcées sur tous les tableaux où M et N sont au moins 8 (y compris M ou N ou les deux infinis) tant qu'il y a un coin de la même couleur que la place de l'évêque.

Si les pièces sont toutes dans le sous-tableau teinté jaune et que le roi noir ne peut pas échapper au triangle d10-j4-j10, la position est également gagnée sur le tableau complet, car ces positions peuvent être (de manière optimale) gagnées sur ce sous-tableau. bord sans laisser le roi noir s'échapper du triangle. De même pour la sous-planche verte. Il en va de même sur une carte MxN.

Mais les positions gagnées ne sont en aucun cas limitées à de telles positions. Dans la position indiquée, par exemple, les Blancs peuvent s'accoupler au plus 33 coups contre n'importe quelle défense noire. Il existe bien sûr un pourcentage important de postes similaires.

Il n'y a pas nécessairement de victoires forcées si M et ou N sont trop petits. Par exemple, il n'y a pas de position d'échec et de mat sur une carte 1xN.

Il existe également à proprement parler un nombre relativement faible de victoires forcées sur des planches (suffisamment grandes, c'est-à-dire M, N> 2, M + N> 6) qui ne comportent aucun coin de la même couleur que la place de l'évêque, mais comprennent un coin de la couleur opposée. Cela inclut la carte 7x7 avec des coins colorés "incorrects" que vous demandez. Ceci est également possible dans un "mauvais" coin de n'importe quelle planche qui comprend un tel coin. Par exemple, sur une carte 8x8:

1.Ng6 + Kg8 2.Bd5 #

Il n'y a pas de victoires sur une planche qui ne comprend pas de coins, c'est-à-dire où un ou les deux côtés s'étendent indéfiniment dans les deux directions.

Il y a des positions tracées sur n'importe quelle taille de planche (c'est le cas général sur les planches qui n'ont pas d'angle de la même couleur que la place de l'évêque et sur les planches où l'un ou les deux de M et N sont trop petits et, je crois, sur les planches où M et N sont tous deux grands), un exemple sur une carte 8x8:

1 ... Kf3 etc.

Les positions tirées sont l'exception sur le tableau standard (moins de 10% de toutes les positions selon le Nalimov EGTB).

Mais je crois que sur une planche 10x10 il y a aussi des tirages par répétition, où le roi seul ne peut pas forcer la capture d'une pièce, mais le côté avec les pièces ne peut pas forcer le compagnon. Je pense que cela devient le cas général pour les grands M et N, comme c'est évidemment le cas pour les M et N impairs avec l'évêque de "mauvaise" couleur.

Tant que la planche contient un coin de la même couleur que la place de l'évêque et que M ou N reste à 8 ou moins (mais n'est pas trop petit), le compagnon sera toujours forcé généralement pour les grandes valeurs finies de l'autre et (quelque peu hors de propos) dans autant de positions que pour une valeur infinie de l'autre.

Modifier:

Après avoir lu le post de DanStronger, je pense que mes commentaires sur les tirages par répétition sur des tableaux plus grands sont erronés. Celles-ci étaient basées sur une analyse de 45 ans que j'ai faite lorsque j'ai appris à jouer la fin (dont les détails sont maintenant flous) mais je suis enclin à penser que l'analyse était erronée. Dans ce cas, le pourcentage de tirages devrait en fait diminuer à mesure que la taille des tableaux augmente.

Je pense que la plus grande distinction que nous pouvons faire ici est le nombre de mouvements nécessaires pour accoupler le roi. Il y a beaucoup de preuves ci-dessus qui prouvent qu'il est possible de s'accoupler sur une planche presque infiniment croissante (en supposant qu'elle reste un carré non rectangulaire (pour cela je n'en ai aucune idée)) Dans un tournoi, il y a une règle de 50 coups pour éviter une longueur inutile Jeux. Il est possible de s'accoupler avec ce scénario sur une carte 8x8 dans les limites de 50 mouvements mais avec peu de marge d'erreur. Plus la planche est grande, plus vous avez besoin d'espace pour enfermer le roi dans le coin, ce qui entraîne plus de 90 compagnons de mouvement.

Pour résumer, tant que la planche est carrée (longueur = largeur), un partenaire KBN vs K est réalisable. Je ne peux pas répondre si le tableau est rectangulaire, quelqu'un d'autre peut répondre s'il le souhaite ou vous pouvez éditer votre question!