Y a-t-il un théorème qui dit que

Soit n'importe quelle distribution avec une moyenne définie, μ et un écart type, σ . Le théorème central limite dit que $X$$\mu$$\sigma$ converge en distribution vers une distribution normale standard. Si nous remplaçonsσpar l’écart typeS, y a-t-il un théorème indiquant que

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ converge dans la distribution vers une t-distribution? Puisque pour une grandedistributionna t proche d'une normale, le théorème, s'il existe, peut indiquer que la limite est une distribution normale standard. Par conséquent, il me semble que les distributions t ne sont pas très utiles - qu'elles ne sont utiles que lorsqueXest à peu près une normale. Est-ce le cas? $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$$X$

Si c'est possible, indiqueriez-vous des références contenant une preuve de ce CLT lorsque est remplacé par S ? Une telle référence pourrait de préférence utiliser des concepts de théorie des mesures. Mais tout serait génial pour moi à ce stade.$\sigma$$S$

Pour développer le commentaire de @cardinal, considérons un échantillon iid de taille partir d'une variable aléatoire X avec une certaine distribution, et des moments finis, la moyenne μ et l'écart type σ . Définissez la variable aléatoire$n$$X$$\mu$$\sigma$

Le théorème de base de la limite centrale dit queZn→ d Z∼N(0,σ2

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

Considérons maintenant la variable aléatoire $Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

L'échantillon est iid et donc les moments de l'échantillon estiment de manière cohérente les moments de la population. Alors

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Quant à l'utilité de la distribution de Student, je mentionne seulement que, dans ses «usages traditionnels» liés aux tests statistiques, elle est toujours indispensable lorsque la taille des échantillons est vraiment petite (et nous sommes toujours confrontés à de tels cas), mais aussi, qu'elle a ont été largement appliquées aux modèles de séries autorégressives avec hétéroscédasticité (conditionnelle), en particulier dans le contexte de la finance économétrie, où de telles données apparaissent fréquemment.