La moyenne et la variance existent-elles toujours pour les distributions familiales exponentielles?

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Supposons qu'une variable aléatoire scalaire appartient à une famille exponentielle à paramètres vectoriels avec pdfX

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

θ=(θ1,θ2,,θs)T est le vecteur de paramètre et T(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))T est la statistique suffisante commune.

On peut montrer que la moyenne et la variance pour chaque Ti(x) existent. Cependant, la moyenne et la variance pour X (c'est-à-dire E(X) et Var(X) ) existent-elles toujours également? Sinon, existe-t-il un exemple de distribution familiale exponentielle de cette forme dont la moyenne et la variable n'existent pas?

Je vous remercie.

Wei
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Réponses:

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Si , , et donne fourni , produisants=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

Figure

Des graphiques de sont affichés pour (respectivement en bleu, rouge et or).fX( |θ)θ=3/2,2,3

Il est clair que les moments absolus des poids ou plus n'existent pas, car l'intégrande , qui est asymptotiquement proportionnelle à , produira une intégrale convergente aux limites si et seulement si . En particulier, lorsque cette distribution n'a même pas de moyenne (et certainement pas de variance).α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1,

whuber
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Je ne comprends pas la condition . Voulez-vous dire ? Lorsque , n'est pas défini et est négatif et ne peut pas être un pdf Veuillez me faire savoir ce que j'ai manqué. Merci. θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
Wei
Je suis désolé, parce qu'un signe moins a été omis dans le calcul de . Je l'ai remplacé dans les formules. Je veux vraiment dire . Aθ<1
whuber
Merci pour l'exemple. Je suis d'accord sur les moments de. Que diriez-vous des moments de lui-même? Par exemple, lorsque dans votre exemple ci-dessus, existe-t- il ? |x|x2<θ<1E(x)
Wei
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Parce que l'intégrale de Lebesgue est définie en termes de parties positives et négatives de l'intégrande, les moments de existent si et seulement si les moments deexister. x|x|
whuber
@Wei: n'existe que si . Sans cette restriction, l'attente n'est pas définie de manière unique pour certains CDF. E{g(X)}E{|g(X)|}<
Dennis