La moyenne et la variance existent-elles toujours pour les distributions familiales exponentielles?

Supposons qu'une variable aléatoire scalaire appartient à une famille exponentielle à paramètres vectoriels avec pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

où ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ est le vecteur de paramètre et $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ est la statistique suffisante commune.

On peut montrer que la moyenne et la variance pour chaque $T_i(x)$ existent. Cependant, la moyenne et la variance pour $X$ (c'est-à-dire $E(X)$ et $Var(X)$ ) existent-elles toujours également? Sinon, existe-t-il un exemple de distribution familiale exponentielle de cette forme dont la moyenne et la variable n'existent pas?

Je vous remercie.

variance mean exponential-family sufficient-statistics Wei
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Réponses:

Si , , et donne fourni , produisant $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Des graphiques de sont affichés pour (respectivement en bleu, rouge et or). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Il est clair que les moments absolus des poids ou plus n'existent pas, car l'intégrande , qui est asymptotiquement proportionnelle à , produira une intégrale convergente aux limites si et seulement si . En particulier, lorsque cette distribution n'a même pas de moyenne (et certainement pas de variance). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

whuber
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Je ne comprends pas la condition . Voulez-vous dire ? Lorsque , n'est pas défini et est négatif et ne peut pas être un pdf Veuillez me faire savoir ce que j'ai manqué. Merci.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

Wei

Je suis désolé, parce qu'un signe moins a été omis dans le calcul de . Je l'ai remplacé dans les formules. Je veux vraiment dire .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

whuber

Merci pour l'exemple. Je suis d'accord sur les moments de. Que diriez-vous des moments de lui-même? Par exemple, lorsque dans votre exemple ci-dessus, existe-t- il ?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

Wei

Parce que l'intégrale de Lebesgue est définie en termes de parties positives et négatives de l'intégrande, les moments de existent si et seulement si les moments deexister.

x

$x$

| x |

$|x|$

whuber

@Wei: n'existe que si . Sans cette restriction, l'attente n'est pas définie de manière unique pour certains CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

Dennis