Exemples simples de et non corrélés mais non indépendants

Tout étudiant qui travaille dur est un contre-exemple de "tous les étudiants sont paresseux".

Quels sont les contre-exemples simples pour "si les variables aléatoires et sont pas corrélées, alors elles sont indépendantes"?$X$$Y$

Soit $X\sim U(-1,1)$ .

Soit .$Y=X^2$

Les variables ne sont pas corrélées mais dépendent.

Alternativement, considérons une distribution bivariée discrète composée d'une probabilité à 3 points (-1,1), (0, -1), (1,1) avec une probabilité de 1/4, 1/2, 1/4 respectivement. Les variables sont alors non corrélées mais dépendantes.

Considérons des données bivariées uniformes dans un diamant (un carré pivoté à 45 degrés). Les variables seront non corrélées mais dépendantes.

Ce sont les cas les plus simples auxquels je puisse penser.

Je pense que l'essence de certains des contre-exemples simples peut être vue en commençant par une variable aléatoire continue centrée sur zéro, c'est-à-dire . Supposons que le pdf de soit pair et défini sur un intervalle de la forme , où . Supposons maintenant pour une fonction . Nous posons maintenant la question: pour quel type de fonctions pouvons-nous avoir ?E [ X ] = 0 X ( - a , a ) a > 0 Y = f ( X ) f f ( X ) C o v ( X , f ( X ) ) = $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$$Cov(X,f(X))=0$

Nous savons que . Notre hypothèse selon laquelle nous conduit directement à . En désignant le pdf de via , nous avonsE [ X ] = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X f ( X ) ] X p $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Nous voulons et une façon d'y parvenir est de s'assurer que est une fonction paire, ce qui implique que est une fonction impaire. Il s'ensuit alors que , et donc .f ( x ) x f ( x ) p ( x ) ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$$Cov(X,f(X))=0$

De cette façon, nous pouvons voir que la répartition précise de est sans importance que le long que le pdf est symétrique autour de un point et une fonction même va faire pour définir .f ( ⋅ ) $X$$f(\cdot)$$Y$

Espérons que cela puisse aider les élèves à voir comment les gens parviennent à ces types de contre-exemples.

Soyez le contre-exemple (ie étudiant travailleur)! Ceci étant dit:

J'essayais de penser à un exemple du monde réel et ce fut le premier qui m'est venu à l'esprit. Ce ne sera pas le cas mathématiquement le plus simple (mais si vous comprenez cet exemple, vous devriez pouvoir trouver un exemple plus simple avec des urnes et des balles ou quelque chose).

Selon certaines recherches, le QI moyen des hommes et des femmes est le même, mais la variance du QI masculin est supérieure à la variance du QI féminin. Pour être concret, disons que le QI masculin suit et le QI féminin suit avec . La moitié de la population est masculine et la moitié de la population féminine.N ( 100 , α σ 2 ) α < $N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

En supposant que cette recherche est correcte:

Quelle est la corrélation entre le sexe et le QI?

Le sexe et le QI sont-ils indépendants?

On peut définir une variable aléatoire discrète avecP ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

puis définissez$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Il peut être facilement vérifié que et sont pas corrélés mais pas indépendants.$X$$Y$

Essayez ceci (code R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

C'est à partir de l'équation du cercle$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ n'est pas corrélé avec , mais il est fonctionnellement dépendant (déterministe). $x$

Le seul cas général où l'absence de corrélation implique l'indépendance est lorsque la distribution conjointe de X et Y est gaussienne.

Une réponse en deux phrases: le cas le plus clair de dépendance statistique non corrélée est une fonction non linéaire d'un RV, disons Y = X ^ n. Les deux VR sont clairement dépendants mais pas encore corrélés, car la corrélation est une relation linéaire.