Pour une variable aléatoire continue, pourquoi

Mon manuel met cela dans une boîte latérale avec le titre "Note" et n'explique pas pourquoi. Pourriez-vous me dire pourquoi cette déclaration tient?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

Rien de formel à ajouter à cela, mais une analogie qui m'a vraiment aidé à comprendre cela venait d'un texte de calcul. Imaginez que vous ayez un tuyau en fer d'une certaine longueur et d'un certain poids. Et vous souhaitez le couper en deux morceaux. Si le tuyau mesure 1 m de long, vous pouvez le couper en deux à la marque 0,5. Considérez maintenant le poids du tuyau comme quelques fois constantes la longueur du tuyau (nous supposons que toutes les sections transversales de longueur égale ont le même poids).

Couper le tuyau en deux à la marque de 0,5 m - combien de poids perdez-vous? N'oubliez pas que la seule section que vous supprimez est la marque de 0,5 m elle-même. Quelle est donc la longueur de cette section? Considérez que 0,49999999 ... ne fait pas partie de celui-ci, ni 0,5000000000 ... 1, ni aucun autre point proche, mais non égal à 0,5 - la longueur de cette section transversale est donc techniquement nulle. Ce qui signifie que vous n'enlevez pas vraiment de poids du tout.

Cela expliquerait pourquoi $\leq$ et $<$ sont fondamentalement les mêmes pour les variables continues - l'inclusion ou l'exclusion du point de terminaison ne change vraiment rien - pour tout point que vous choisissez près du point de terminaison, il y a toujours une quantité infinie de points entre eux.

Est-ce que cela a un sens?

Je vais d'abord donner la définition d'une variable aléatoire (absolument) continue $Z$.

(Une probabilité avancée est nécessaire, vous en sautez beaucoup!)

Laisser $(\Omega,F, P)$être un espace de probabilité et laisser$Z:\Omega\rightarrow R^n$être un vecteur aléatoire. La probabilite$P_X$ sur $B(R^n)$ Défini par $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$, $A \in B(R^n)$ est appelé la distribution de $Z$. Maintenant si$P_Z\ll \mu,$ où $\mu$ est la mesure de Lebesgue $R^n$, (c'est à dire $P$est absolument continue en ce qui concerne$\mu$) alors on dit que $Z$est un vecteur aléatoire (absolument) continu. Maintenant, en utilisant le théorème de Radon-Nikodym , il existe une fonction$f: R^n\to[0,+\infty]$ tel que $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ pour tous $A \in B(R^n)$. Nous appelons$f$ la fonction de densité de $Z$.

Définissons maintenant la fonction de distribution cumulative (CDF) d'une variable aléatoire absolument continue $Z$ comme:

$$F_Z(z)=P(Z\leq z).$$

Avant de donner une preuve formelle, prenons un exemple de variable aléatoire continue qui est uniformément distribuée, c'est-à-dire avec une fonction de densité de probabilité de $f(z)=1$ pour $0\leq z \leq 1$et 0 sinon. Essayons maintenant de trouver$P(z=0.5)$. On a

$$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$$ Nous pouvons réduire cet intervalle pour obtenir une meilleure approximation comme suit: $$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$$ $$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$$ Comme vous pouvez le voir, ces probabilités convergent vers zéro lorsque nous réduisons la longueur de l'intervalle. Maintenant, prouvons-le formellement. Je vais montrer que pour toute variable aléatoire continue$Z$, on a: $$P(Z=a)=0,$$ en utilisant le CDF. $$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$$ puisque la fonction CDF, $F$, est une fonction "continue" pour la variable aléatoire continue $Z$. De même$P(Z=b)=0$.
Notez enfin que $$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$$ Donc $$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$$ Vous pouvez utiliser le même argument pour d'autres égalités.

Une explication peut-être plus intuitive est que pour une variable continue, la contribution des bords (par exemple, $a$ ou $b$) à la probabilité cumulée dans les intervalles (ou demi-intervalles) environnants est négligeable.