Comment montrer qu'il n'y a pas d'estimateur sans biais de pour une distribution de Poisson avec une moyenne ?

Supposons que sont des variables aléatoires iid qui suivent la distribution de Poisson avec la moyenne . Comment puis-je prouver qu'il n'y a pas d'estimateur non biaisé de la quantité ? $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ $\lambda$ $\dfrac{1}{\lambda}$

probability poisson-distribution unbiased-estimator estimators iid billlee1231
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Je suppose que tu veux dire, "lambda?" Quoi qu'il en soit, ce n'est pas approprié pour MO.

Est-ce pour un sujet? Cela ressemble à un exercice de manuel assez standard. Veuillez vérifier la self-studybalise et ses informations wiki sur la balise et ajouter la balise (ou veuillez indiquer comment une telle question se pose). Notez que de telles questions, bien que bienvenues, vous imposent certaines exigences (et nous imposent des restrictions). Qu'as-tu essayé?

Glen_b -Reinstate Monica

Vous devriez pouvoir utiliser un argument similaire à celui ici .

Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

Supposons que est un estimateur sans biais de , c'est-à-dire $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$ En multipliant ensuite par et en invoquant la série MacLaurin de nous pouvons écrire l'égalité comme

\sum_{(X_{0}, \dots, X_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (X_{0}, \dots, X_{n}) \frac{λ^{\sum_{je = 0}^{n} X_{je}}}{\prod_{je = 0}^{n} X_{je}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

où nous avons une égalité de deux séries de puissance dont l'une a un terme constant (le côté droit) et l'autre non: une contradiction. Il n'existe donc pas d'estimateur sans biais.

\sum_{(X_{0}, \dots, X_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (X_{0}, \dots, X_{n})}{\prod_{je = 0}^{n} X_{je}!} λ^{1 + \sum_{je = 0}^{n} X_{je}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + \dots, \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$

J. Virta
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