MISE À JOUR 25 janvier 2014: l'erreur est maintenant corrigée. Veuillez ignorer les valeurs calculées de la valeur attendue dans l'image téléchargée - elles sont erronées - je ne supprime pas l'image car elle a généré une réponse à cette question.
MISE À JOUR 10 janvier 2014: l'erreur a été trouvée - une faute de frappe mathématique dans l'une des sources utilisées. Préparation de la correction ...
La densité de la statistique d'ordre minimum d'une collection de iid variables aléatoires continues avec cdf F_X (x) et pdf f_X (x) est f_ {X _ {(1)}} (x _ {(1)}) = nf_X (x_ {(1)}) \ gauche [1-F_X (x _ {(1)}) \ droite] ^ {n-1} \ qquad [1]
Si ces variables aléatoires sont normales normales, alors
où nous avons utilisé les propriétés symétriques de la normale standard. Dans Owen 1980 , p.402, éq. [ N, 011 ] nous constatons que
Correspondance des paramètres entre les équations et ( , ) que nous obtenons
Toujours dans Owen 1980, p. 409, eq [ n0,010.2 ] nous constatons que
où est la normale multivariée standard, est les coefficients de corrélation par paire et .
En faisant correspondre et nous avons, , et
En utilisant ces résultats, eq devient
Cette intégrale de probabilité normale standard multivaririée de variables équi-corrélées, toutes évaluées à zéro , a fait l'objet de suffisamment de recherches, et diverses méthodes pour l'approcher et la calculer ont été dérivées. Un examen approfondi (lié au calcul des intégrales de probabilités normales multivariées en général) est Gupta (1963) . Gupta fournit des valeurs explicites pour divers coefficients de corrélation et pour un maximum de 12 variables (il couvre donc une collection de 14 variables). Les résultats sont (LA DERNIÈRE COLONNE EST FAUX) :
Maintenant, si nous représentons graphiquement comment la valeur de change avec , nous obtiendrons
J'arrive donc à mes trois questions / demandes:
1) Quelqu'un pourrait-il vérifier analytiquement et / ou vérifier par simulation que les résultats pour la valeur attendue sont corrects (c'est-à-dire vérifier la validité de l'eq )?
2) En supposant que l'approche est correcte, quelqu'un pourrait-il donner la solution pour les normales avec une variance moyenne et non unitaire non nulle? Avec toutes les transformations, je me sens vraiment étourdi.
3) La valeur de l'intégrale de probabilité semble évoluer en douceur. Que diriez-vous de l'approcher avec une fonction de ?
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