Probabilité qu'une variable aléatoire continue suppose un point fixe

Je suis dans une classe de statistiques d'introduction dans laquelle la fonction de densité de probabilité pour les variables aléatoires continues a été définie comme . Je comprends que l'intégrale de mais je ne peux pas rectifier cela avec mon intuition d'une variable aléatoire continue. Disons que X est la variable aléatoire égale au nombre de minutes à partir du moment t où le train arrive. Comment calculer la probabilité que le train arrive exactement dans 5 minutes? Comment cette probabilité peut-elle être nulle? N'est-ce pas possible? Que faire si le train n'arrive exactement 5 minutes à partir de maintenant, comment pourrait - il se produire s'il y avait probabilité 0?a ∫ a f ( x ) d x = $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$$\int\limits_a^af(x)dx=0$

Merci.

Vous tombez peut-être dans le piège de considérer «cinq minutes à partir de maintenant» comme une durée limitée (qui aurait une probabilité non nulle).

«Cinq minutes à partir de maintenant» au sens variable continu est vraiment instantané.

Imaginez que l'arrivée du prochain train soit uniformément répartie entre 8h00 et 8h15. Imaginez davantage que nous définissons l' arrivée d'un train comme se produisant à l'instant où l'avant du train passe un point particulier sur la gare (peut-être le milieu de la plate-forme s'il n'y a pas de meilleur point de repère). Considérez la séquence de probabilités suivante:

a) la probabilité qu'un train arrive entre 8h05 et 8h10

b) la probabilité qu'un train arrive entre 8h05 et 8h06

c) la probabilité qu'un train arrive entre 8:05:00 et 8:05:01

d) la probabilité qu'un train arrive entre 8:05:00 et 8: 05: 00.01 (c'est-à-dire en l'espace d'un centième de seconde

e) la probabilité qu'un train arrive entre 8h05 et un milliardième de seconde plus tard

f) la probabilité qu'un train arrive entre 8h05 et un quadrillionième de seconde plus tard

... etc

La probabilité qu'elle arrive précisément à 8h05 est la valeur limite d'une séquence de probabilités comme celle-là. La probabilité est inférieure à chaque .$\epsilon>0$

Que se passe-t-il si le train arrive exactement dans 5 minutes, comment pourrait-il se produire s'il avait une probabilité de 0?

Une déclaration probabiliste n'est pas une déclaration sur la possibilité / faisabilité d'un événement. Cela ne reflète que notre tentative de quantifier notre incertitude à ce sujet. Ainsi, lorsqu'un phénomène est continu (ou modélisé comme tel), nos outils et l'état actuel des connaissances ne nous permettent pas de faire une déclaration probabiliste à ce sujet en prenant une valeur spécifique . Nous ne pouvons faire une telle déclaration liée à une plagedes valeurs. Bien sûr, l'astuce habituelle est de discrétiser le support, de considérer des "petits" intervalles de valeurs plutôt que des valeurs uniques. Étant donné que les variables aléatoires continues apportent de grands avantages et une grande flexibilité par rapport aux variables aléatoires discrètes, cela s'est avéré être un prix assez faible à payer, peut-être aussi petit que les intervalles que nous sommes obligés de considérer.

Pour vous donner une idée de ce qui précède, essayez l'expérience (de pensée) suivante:

Tracez une vraie ligne autour de zéro avec une règle. Maintenant, prenez une fléchette pointue et laissez-la tomber d'en haut au hasard sur la ligne (supposons que vous frapperez toujours la ligne et que seul le positionnement latéral compte pour l'argument).

Quelle que soit la fréquence à laquelle vous laissez la fléchette tomber au hasard sur la ligne, vous n'atteindrez jamais le point zéro. Pourquoi? Pensez quel est le point zéro, pensez quelle est sa largeur. Et après avoir reconnu que sa largeur est de 0, pensez-vous toujours pouvoir la frapper?

Serez-vous capable d'atteindre le point 1 ou -2? Ou tout autre point que vous choisissez sur la ligne d'ailleurs?

Pour revenir aux mathématiques, c'est la différence entre le monde physique et un concept mathématique tel que les nombres réels (représentés par la ligne réelle dans mon exemple). La théorie des probabilités a une définition de la probabilité un peu plus compliquée que vous ne le verrez dans votre exposé. Pour quantifier la probabilité d'événements et toute combinaison de leurs résultats, vous avez besoin d'une mesure de probabilité. La mesure de Borel et la mesure de Lebesgue sont définies pour un intervalle [a, b] sur la ligne réelle comme: partir de cette définition, vous pouvez voir ce qui se passe avec la probabilité si vous réduisez l'intervalle à un nombre (réglage a = b).

L'essentiel est que, sur la base de notre définition actuelle de la théorie des probabilités (remontant à Kolmogorov), le fait qu'un événement ait 0 probabilité ne signifie pas qu'il ne peut pas se produire.

Et en ce qui concerne votre exemple avec le train, si vous avez une montre infiniment précise, votre train n'arrivera jamais exactement à l'heure.

Une distribution de probabilité doit avoir une zone d'unité. Si la mesure est continue, il y a un nombre infini de valeurs qu'elle peut prendre (c'est-à-dire un nombre infini de valeurs le long de l'axe x de la distribution). La seule façon dont l'aire totale de la distribution de probabilité peut être finie est que la valeur à chacun des nombres infinis de valeurs soit nulle. Un divisé par l'infini.

Dans la `` vraie vie '', il ne peut y avoir de mesures qui prennent un nombre infini de valeurs (par plusieurs arguments philosophiques différents qui n'ont pas beaucoup d'importance ici), donc aucune valeur n'a besoin de prendre une probabilité d'exactement zéro. Un argument pratique utile est basé sur la précision finie des mesures du monde réel. Si vous utilisez un chronomètre mesurant au dixième de seconde, le train disposera d'un dixième de seconde pour arriver en «exactement» cinq minutes.

D'autres personnes ont répondu pourquoi la probabilité est nulle (si vous estimez que le temps est continu, ce qui n'est effectivement pas le cas , mais de toute façon ...), je vais donc l'écho brièvement. Pour répondre à la dernière question posée par le PO --- "comment cela pourrait-il se produire s'il avait une probabilité de 0?" --- des tas de choses peuvent se produire s'ils ont une probabilité nulle. Tout un ensemble de probabilités zéro signifie que, dans l'espace des choses possibles qui pourraient arriver, l'ensemble prend pas de place. C'est tout. Ce n'est pas plus significatif que cela.$A$$A$

J'écris ceci pour, je l'espère, aborder autre chose que le PO a dit dans les commentaires:

Vous dites "vous n'atteindrez jamais le point zéro", mais que pouvez-vous dire du point que j'ai touché lors de mon premier lancer de fléchettes? Soit 𝑥 le point que je frappe. Avant de lancer ma fléchette, vous auriez dit "vous n'atteindrez jamais le point 𝑥", mais je viens de le frapper. Maintenant quoi?

C'est une très bonne question et une question avec laquelle j'ai commencé à me renseigner sur la probabilité. Voici la réponse: elle n'est pas équivalente à la question que vous avez posée à l'origine! Ce que vous avez fait, c'est apporter du temps dans l'analyse, ce qui signifie que la structure de probabilité sous-jacente change pour devenir beaucoup plus complexe. Voici ce que vous devez savoir. Un espace de probabilité compose de trois choses: un espace sous-jacent , tel que ou ; un ensemble de tous les résultats possibles sur cet espace, comme l'ensemble de tous les intervalles semi-ouverts sur , et une mesure qui satisfait$(\Omega, A, \mu)$$\Omega$$\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$\mu$$\mu(\Omega) = 1$. Votre problème d'origine réside dans l'espace où est la mesure de Lebesgue (cela signifie que ). Dans cet espace, la probabilité que vous atteigniez un seul point est nulle pour les raisons décrites ci-dessus --- Je pense que nous avons clarifié cela. Mais maintenant, lorsque vous dites des choses comme le passage cité ci-dessus, vous définissez quelque chose appelé une filtration , que nous écrirons comme . Une filtration en général est une collection de sous-ensembles de qui satisfont pour tous les$([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$$\nu$$\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$$x \in [a,b]$F={Ft}t≥0AF$\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$$A$$\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$$t < s$. Dans votre cas, nous pouvons définir la filtration Maintenant, dans ce nouveau sous-ensemble de votre espace de résultats, devinez quoi --- vous avez raison! Vous l'avez atteint et, après votre premier lancer, votre probabilité d'avoir atteint ce point lorsqu'il est limité à la filtration est de 1.