Expliquer les filtres de Kalman dans les modèles d'espace d'état

Quelles sont les étapes de l'utilisation des filtres de Kalman dans les modèles d'espace d'état?

J'ai vu quelques formulations différentes , mais je ne suis pas sûr des détails. Par exemple, Cowpertwait commence par cet ensemble d'équations:

θt=Gtθt-1+w

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

où et , sont nos estimations inconnues et sont les valeurs observées.w t ∼ N ( 0 , W t ) θ t y $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait définit les distributions impliquées (distribution antérieure, vraisemblance et distribution postérieure, respectivement):

y t | θ t ∼ N (

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ θt| Dt∼N(mt,Ct $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

avec

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

Soit dit en passant, signifie la distribution de étant donné les valeurs observées jusqu'à . Une notation plus simple est mais je m'en tiendrai à la notation de Cowpertwait.$\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

L'auteur décrit également la prédiction pour en termes d'attentes:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Pour autant que je comprends, ce sont les étapes, cependant, faites-moi savoir s'il y a une erreur ou une imprécision:

1. Nous commençons par , , c'est-à-dire que nous devinons une valeur pour nos estimations .$m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Nous prédisons une valeur pour . Cela devrait être égal à qui est . est connu car .$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Une fois que nous avons notre prédiction pour , nous calculons l'erreur .$y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. L'erreur est utilisée pour calculer la distribution postérieure qui nécessite et . est donné comme une somme pondérée de la moyenne antérieure et de l'erreur: .$e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. Dans l'itération suivante, nous commençons par prédire comme à l'étape 1. Dans ce cas, . Puisque et est l'attente de que nous avons déjà calculée à l'étape précédente, alors nous pouvons procéder au calcul de l'erreur et la moyenne de la distribution postérieure comme précédemment.$y_{2}|D_{1}$$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Je pense que le calcul de la distribution postérieure est ce que certains appellent l'étape de mise à jour et l'utilisation de l'attente de est l'étape de prédiction.$\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Par souci de concision, j'ai omis les étapes de calcul des matrices de covariance.

Ai-je manqué quelque chose? Connaissez-vous une meilleure façon d'expliquer cela? Je pense que c'est encore un peu compliqué, alors il y a peut-être une approche plus claire.

Je pense que ce que vous dites est correct et je ne pense pas que ce soit compliqué. Une façon de formuler serait de dire que le filtre de Kalman est un algorithme de correction d'erreur, qui modifie les prédictions à la lumière des écarts avec les observations actuelles. Cette correction est faite dans votre étape 4) en utilisant la matrice de gain .$A_t$