Soit la fonction de distribution binomiale (DF) avec les paramètres et évalués à : et soit dénotons le Poisson DF avec le paramètre évalué à r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} : F(ν,r)a∈R+r∈{0,1,2,…}F(a,r)=e-ar ∑ i=0aje
Considérons , et soit défini comme \ lceil a / pd \ rceil , où d est une constante de l'ordre de 1 . Puisque np \ rightarrow a , la fonction B (n, p, r) converge vers F (a, r) pour tout r , comme cela est bien connu.n ⌈ a / p - d ⌉ d 1 n p → a B ( n , p , r ) F ( a , r ) r
Avec la définition ci-dessus pour , je suis intéressé à déterminer les valeurs de pour lesquelles
Donc, je voudrais savoir s'il existe un théorème ou un résultat qui établit dans quelles conditions chaque inégalité est valable (pour tout ); c'est-à-dire lorsque le DF binomial est garanti supérieur ou inférieur à son DF de Poisson limite. Si un tel théorème n'existe pas, toute idée ou pointeur dans la bonne direction serait apprécié.
Veuillez noter qu'une question similaire, formulée en termes de fonctions bêta et gamma incomplètes, a été publiée dans math.stackexchange.com mais n'a reçu aucune réponse.
Réponses:
En ce qui concerne les éléments suivants:
la moyenne d'une dist binomiale estnp
la variance estnp(1−p)
la moyenne d'une dist de Poisson est , que nous pouvons imaginer comme n × pλ n×p
la variance d'un Poisson est la même que la moyenne
Maintenant, si un Poisson est la limite d'un binôme avec les paramètres et p , tels que n augmente à l'infini et p diminue à zéro tandis que leur produit reste constant, alors en supposant que n et p ne convergent pas vers leurs limites respectives, l'expression n p est toujours supérieur à n p ( 1 - p ) , donc la variance de Binomial est inférieure à celle de Poisson. Cela impliquerait que le binôme est en dessous dans les queues et au-dessus ailleurs.n p n p n p np np(1−p)
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