Limites de queue sur la norme euclidienne pour une distribution uniforme sur

Quelles sont les limites supérieures connues de la fréquence à laquelle la norme euclidienne d'un élément uniformément choisi de sera supérieur à un seuil donné?$\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

Je m'intéresse principalement aux bornes qui convergent exponentiellement vers zéro lorsque est bien inférieur à .$n$$d$

Intuitivement, il devrait être évident qu'un point dont les coordonnées sont échantillonnées au hasard à partir de la distribution uniforme devrait avoir un petit module en raison de la malédiction de la dimensionnalité. Au fur et à mesure que augmente, la probabilité qu'un point échantillonné au hasard dans le volume de la boule des unités dimensionnelles ait une distance inférieure ou égale à rapport au centre est , qui chute exponentiellement rapidement.$d$$d$$\epsilon$$\epsilon^{d}$

Je vais donner la version complète de la solution du cardinal.

Soit une copie indépendante d'une distribution discrète et uniforme sur les entiers . Clairement, , et il est facile de calculer que$X_i$$-n \leqslant k \leqslant n$$\mathbb{E}[X] = 0$$\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Souvenez-vous que et que$\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Ainsi,$\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ calcul

Soit$Y_i = X_i^2$

Je terminerai cela demain, mais vous pouvez voir que cette variable a une moyenne d'environ , tandis que moins de fraction de points ont des distances inférieures à la moitié de la distance maximale$\frac{n^2}{3}$$2^{-d}$$\frac{dn^2}{2}$

Si tous les suivent des uniformes discrets indépendants sur , alors comme il y a valeurs à choisir et leur moyenne est 0, nous avons pour tout :$X_i$$[-n, n]$$2n+1$$i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ , et

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Alors si est la norme euclidienne au carré du vecteur , et à cause de l'indépendance du :$S$$(X_1, X_2, ... X_d)$$X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

À partir de là, vous pouvez utiliser l'inégalité de Markov:$\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Cette limite augmente avec , ce qui est normal car lorsque devient plus grand, la norme euclidienne devient plus grande par rapport à un seuil fixe .$d$$d$$a$

Maintenant, si vous définissez comme une norme au carré "normalisée" (qui a la même valeur attendue, quelle que soit la taille de ), vous obtenez:$S^*$$d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

Au moins, cette limite ne monte pas avec , mais elle est loin de résoudre votre quête d'une limite décroissante exponentiellement! Je me demande si cela peut être dû à la faiblesse de l'inégalité de Markov ...$d$

Je pense que vous devriez préciser votre question, car comme indiqué ci-dessus, la norme euclidienne moyenne de vos vecteurs augmente linéairement en , il est donc très peu probable que vous trouviez une limite supérieure pour qui diminue en avec un seuil fixe .$d$$\mathbb{P}(S > a)$$d$$a$