Pourquoi la probabilité est-elle nulle pour une valeur donnée d'une distribution normale?

J'ai remarqué que dans la distribution normale, la probabilité est égale à zéro, tandis que pour la distribution de Poisson, elle ne sera pas égale à zéro lorsque est un entier non négatif. $P(x=c)$ $c$

Ma question est: la probabilité d'une constante dans la distribution normale est-elle égale à zéro parce qu'elle représente l'aire sous n'importe quelle courbe? Ou ce n'est qu'une règle à mémoriser?

probability normal-distribution poisson-distribution Psycho 4 Physics
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distribution continue vs discrète

Glen_b -Reinstate Monica

Très proche (question légèrement différente, essentiellement la même réponse): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

whuber

Rien de ce qu'il faut savoir n'est jamais qu'une "règle à mémoriser".

Matthew Drury

Peut-être que l'expérience de réflexion suivante vous aide à mieux comprendre pourquoi la probabilité est nulle dans une distribution continue: Imaginez que vous avez une roue de fortune . Normalement, la roue est divisée en plusieurs secteurs discrets, peut - être une vingtaine. Si tous les secteurs ont la même zone, vous auriez une probabilité de de frapper un secteur spécifique (par exemple le prix principal). La somme de toutes les probabilités est égal à 1, car . Plus général: s'il y a $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ secteurs répartis uniformément sur la roue, chaque secteur a une probabilité de d'être touché (probabilités uniformes). Mais que se passe-t-il si nous décidons de diviser la roue en un million de secteurs. Maintenant , la probabilité de toucher un secteur de spécifiques (le prix principal), est extrêmement faible: . De plus, notez que le pointeur peut théoriquement s'arrêter à un nombre infini de positions de la roue. Si nous voulions faire un prix séparé pour chaque point d'arrêt possible, nous devions partitionner la roue en un nombre infini de "secteurs" de superficie égale (mais chacun de ceux-ci aurait une zone de 0). Mais quelle probabilité attribuer à chacun de ces "secteurs"? Il doit être nul $1/m$ $1/10^{6}$ car si les probabilités pour chaque "secteur" seraient positives et égales, la somme d'infiniment de nombres positifs égaux diverge, ce qui crée une contradiction (la probabilité totale doit être 1). C'est pourquoi nous ne pouvons attribuer une probabilité qu'à un intervalle , à une zone réelle sur la roue.

$f(x)$ $a\leq b$

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Voir ce document pour l'analogie de la roue de la fortune.

La distribution de Poisson, d'autre part, est une distribution de probabilité discrète. Une variable de Poisson aléatoire ne peut prendre que des valeurs discrètes (c'est-à-dire que le nombre d'enfants pour une famille ne peut pas être de 1,25). La probabilité qu'une famille ait exactement 1 enfant n'est certainement pas nulle mais positive. La somme de toutes les probabilités pour toutes les valeurs doit être 1. Les autres distributions discrètes connues sont: binomiale , binomiale négative , géométrique , hypergéométrique et bien d'autres .

COOLSerdash
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Cet argument échoue à un point crucial: il n'est pas toujours vrai que "la somme d'un nombre infini de nombres positifs est infinie". La séquence de probabilités de Poisson est un contre-exemple! Vous pouvez résoudre ce problème par une qualification appropriée, par exemple en soulignant que la somme d'infiniment de nombres positifs , aussi petits soient-ils, divergent.

whuber

@whuber Je pense que c'est ce que je voulais dire quand j'ai écrit la réponse, mais je n'ai pas pu la formuler correctement. Merci pour l'information. J'espère que c'est correct maintenant.

COOLSerdash

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$1$

@whuber Maintenant, je suis confus. C'est exactement la formulation que vous avez suggérée d'ajouter dans votre premier commentaire: "[...] comme en soulignant que la somme d'innombrables nombres positifs, aussi petits soient-ils, diverge"

COOLSerdash

@whuber Bon, maintenant c'est tout à fait clair. J'ai ajouté la qualification à ma réponse. Merci encore de l'avoir signalé.

COOLSerdash

Pourquoi la probabilité est-elle nulle pour une valeur donnée d'une distribution normale?

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