Propriétés de la probabilité conditionnelle normale et implicite bivariée standard dans le modèle de Roy

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Désolé pour le long titre, mais mon problème est assez spécifique et difficile à expliquer dans un seul titre.

J'apprends actuellement sur le modèle Roy (analyse des effets du traitement).

Il y a une étape de dérivation sur mes diapositives, que je ne comprends pas.

Nous calculons le résultat attendu avec le traitement dans le groupe de traitement (le mannequin D est un traitement ou non). Ceci est écrit comme

E[Oui1|=1]

depuis Oui1=μ1+U1 cela peut être réécrit comme

E[Oui1|=1]=E[μ1+U1|=1]=μ1+E[U1|=1]
avant de dire aussi que =1 si Oui1>Oui0 il en résulte:

Oui1-Oui0>0

μ1+U1-(μ0-U0)>0

(μ1+U1)/σ-(μ0-U0)/σ>0

Z-ϵ>0

donc =1 si ϵ<Z

Par conséquent, il soutient que

E[Oui1|=1]=μ1+E[U1|ϵ<Z]

On sait en outre que

[U1U0ϵ]=N([000],[σ12σdixσ1ϵσdixσ02σ0ϵσ1ϵσ0ϵσϵ2])

il s'ensuit donc: P(=1)=P(ϵ<Z)=Φ(Z)

Voici maintenant ma question, les diapositives disent que

μ1-E[U1|ϵ<Z]=μ1-σ1ϵϕ(Z)Φ(Z)
Et je ne comprends pas pourquoi?

Je sais que si deux variables aléatoires suivent une distribution normale bivariée standard: E[u1|u2)=ρu2

donc E[u1|u2>c)=E[ρu2|u2>c]=ρE[u2|u2>c)=ρϕ(c)1-Φ(c)

Je m'attendais donc à un "plus" et non à un signe moins? Aussi pourquoi utilisons-nous la covarianceσ1ϵ et non la corrélation ρ? Je me serais donc attendu à quelque chose comme

μ1-E[U1|ϵ<Z]=μ1+ρϕ(Z)Φ(Z)

Je suis conscient du fait que si je fais la troncature d’en haut 1-Φ(c) devient un Φ(c).

Ivanov
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Réponses:

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Tout d'abord, dans le modèle Roy, σε2 est normalisé pour être 1pour des raisons d'identification (cf. Cameron et Trivedi: Microéconométrie: méthodes et applications). Je maintiendrai cette normalisation par la suite. Pour répondre à votre question, montrons

E(U1ε<Z)=-σ1εϕ(Z)Φ(Z)
première. Iciϕ et Φsont respectivement le pdf et le cdf d'une distribution normale standard. Notez que
E(U1ε<Z)=E(E(U1ε)ε<Z)
par la loi de l'attente itérée. Le vecteur(U1,ε) est une normale bivariée avec une moyenne (0,0) et matrice de covariance
[σ12σ1ϵ1].
La moyenne conditionnelle E(U1ε)=σ1εε (notez que la covariance et non la corrélation se produit ici parce que σε2=1). Donc,
E(U1ε<Z)=σ1εE(εε<Z).
La fonction de densité de εε<Z est
F(εε<Z)={ϕ(ε)Φ(Z),-<ε<Z;0,εZ.
La moyenne conditionnelle E(εε<Z) est
E(εε<Z)=-Ztϕ(t)Φ(Z)t=1Φ(Z)-Zt12πexp(-12t2)t=-1Φ(Z)-Zt{12πexp(-12t2)}t=-1Φ(Z)(ϕ(Z)-ϕ(-)).
Notez comment le signe négatif sort. Donc,E(εε<Z)=-ϕ(Z)/Φ(Z), et la conclusion suit.
semibruin
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J'ai essayé de vous attribuer la prime, mais cela dit: "Vous pouvez attribuer votre prime en 18 heures". Rappelez-moi, si je l'oublie :-)
Stat Tistician
Merci pour votre récompense, et je suis heureux que le message aide.
semibruin