Variance de deux variables aléatoires pondérées

Laisser:

Écart type de la variable aléatoire$A =\sigma_{1}=5$

Écart type de la variable aléatoire$B=\sigma_{2}=4$

Alors la variance de A + B est:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Où:

$p_{1,2}$ est la corrélation entre les deux variables aléatoires.

$w_{1}$ est le poids de la variable aléatoire A

$w_{2}$ est le poids de la variable aléatoire B

$w_{1}+w_{2}=1$

La figure ci-dessous représente la variance de A et B lorsque le poids de A passe de 0 à 1, pour les corrélations -1 (jaune), 0 (bleu) et 1 (rouge).

Comment la formule a-t-elle donné une ligne droite (rouge) lorsque la corrélation est 1? Autant que je sache, lorsque , la formule se simplifie:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Comment puis-je exprimer cela sous la forme de ?$y=mx+c$

Je vous remercie.

En utilisant , calculez$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Cela montre que lorsque , le graphique de la variance par rapport à (montré latéralement dans l'illustration) est une parabole centrée sur . Aucune partie d'une parabole n'est linéaire. Avec et , le centre est à : bien en dessous du graphique à l'échelle dans laquelle il est tracé. Ainsi, vous regardez un petit morceau de parabole, qui apparaîtra linéaire.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Lorsque , la variance est une fonction linéaire de . Dans ce cas, le tracé serait un segment de ligne parfaitement vertical.$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

BTW, vous connaissiez déjà cette réponse, sans calcul, car les principes de base impliquent que le tracé de la variance ne peut être une droite que si elle est verticale. Après tout, il n'y a aucune interdiction mathématique ou statistique de restreindre entre et : toute valeur de détermine une nouvelle variable aléatoire (une combinaison linéaire des variables aléatoires A et B) et doit donc avoir une valeur non négative pour sa variance. Par conséquent, toutes ces courbes (même lorsqu'elles sont étendues à toute la plage verticale de ) doivent se trouver à droite de l'axe vertical. Cela exclut toutes les lignes sauf les verticales.$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

Tracé de la variance pour :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Ce n'est pas linéaire. La formule dit qu'elle n'est pas linéaire. Faites confiance à votre instinct mathématique!

Il n'apparaît que linéaire dans le graphique en raison de l'échelle, avec et . Essayez-le vous-même: calculez les pentes à quelques endroits et vous verrez qu'elles diffèrent. Vous pouvez exagérer la différence en choisissant , par exemple.$\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Voici un code R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Si vous souhaitez vérifier certaines pistes:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1