Adresse de la première let cas . À la fin se trouve la généralisation (facile) à arbitraire Σ .Σ = σjeΣ
Commencez par observer que le produit intérieur est la somme des variables iid, chacune d'elles étant le produit de deux variables normales indépendantes , réduisant ainsi la question à trouver le mgf de ce dernier, car le mgf d'une somme est le produit des mgfs.(0,σ)
Le mgf peut être trouvé par intégration, mais il existe un moyen plus simple. Lorsque et Y sont normaux,XY
XY=((X+Y)/2)2−((X−Y)/2)2
est une différence de deux variables indépendantes du chi carré. (Le facteur d'échelle est à cause des écarts de ( X ± Y ) / 2 sont égaux à 1 / 2 .) Etant donné que le mgf d'une variable aléatoire de chi carré est 1 / √1/2(X±Y)/21/2 , le mgf de((X+Y)/2)2est1/ √1/1−2ω−−−−−√((X+Y)/2)2 et le mgf de -((X-Y)/2)2est1/ √1/1−ω−−−−−√−((X−Y)/2)2 . En multipliant, nous constatons que le mgf souhaité est égal à1/ √1/1+ω−−−−−√ .1/1−ω2−−−−−√
(Pour référence ultérieure, notez que lorsque et Y sont redimensionnés par σ , leur produit est mis à l'échelle par σ 2 , d'où ω devrait également être mis à l'échelle par σ 2. )XYσσ2ωσ2
Cela devrait sembler familier: jusqu'à certains facteurs constants et un signe, cela ressemble à la densité de probabilité pour une distribution de Student t avec degré de liberté. (En effet, si nous avions travaillé avec des fonctions caractéristiques au lieu de mgfs, nous obtiendrions 1 / √0 ,qui est encore plus proche d'un PDF étudiant t) Jamaisesprit qu'il n'y a pastelle chose comme un tStudent avec.0DSF - tout ce qui importe est que le mgf être analytique dans un voisinage de0et clairement est (par le théorème binomial).1/1+ω2−−−−−√00
Il s'ensuit immédiatement que la distribution du produit intérieur de ces vecteurs gaussiens iid a mgf égal au produit n- fois de ce mgf,nn
(1−ω2σ4)−n/2,n=1,2,….
En recherchant la fonction caractéristique des distributions de Student t, nous déduisons (avec un tout petit peu d'algèbre ou une intégration pour trouver la constante de normalisation) que le PDF lui-même est donné par
fn,σ(x)=21−n2|x|n−12Kn−12(|x|σ2)π−−√σ4Γ(n2)
K
105σ=1/2n=3
Il est plus difficile de confirmer l'exactitude du mgf à partir d'une simulation, mais notez (d'après le théorème binomial) que
(1+t2σ4)−3/2=1−3σ4t22+15σ8t48−35σ12t616+315σ16t8128+…,
0σ=1/2
k mgf simulation/k!
2 0.09375 0.09424920
4 0.00732422 0.00740436
6 0.00053406 0.00054128
8 0.00003755 0.00003674
10 2.58 e-6 2.17 e-6
Comme prévu, les moments forts de la simulation commenceront à s'écarter des moments donnés par le mgf; mais au moins jusqu'au dixième moment, il y a un excellent accord.
n=2
Σσ21,σ22,…,σ2d0≤d≤n
(∏i=1d(1−ω2σ4i))−1/2.
Σ
⎛⎝⎜⎜112−18121−14−18−1412⎞⎠⎟⎟
et calculé que ses valeurs propres sont
(σ21,σ22,σ23)=(116(17+65−−√),116(17−65−−√),38)≈(1.56639,0.558609,0.375).
106Xi(0,Σ)106Yi106Xi⋅Yi−1215
Comme précédemment, l'accord est excellent. De plus, les moments correspondent bien jusqu'au huitième et raisonnablement bien même au dixième:
k mgf simulation/k!
2 1.45313 1.45208
4 2.59009 2.59605
6 5.20824 5.29333
8 11.0994 11.3115
10 24.4166 22.9982
Addenda
(Ajouté le 9 août 2013.)
fn,σ00σ2n/2