Taille d'un test et niveau de signification

Supposons que vous ayez un échantillon aléatoire d'une distribution qui implique un paramètre qui suppose des valeurs dans un espace de paramètres . Vous partitionnez l'espace des paramètres comme , et vous souhaitez tester les hypothèses qui sont appelées null et des hypothèses alternatives , respectivement. $X_1,\dots,X_n$ $\theta$ $\Theta$ $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

H_{0} : θ \in Θ_{0},

$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$

H_{1} : θ \in Θ_{1},

$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$

Soit l'espace d'échantillon de toutes les valeurs possibles du vecteur aléatoire . Votre objectif dans la construction d'une procédure de test est de partitionner cet espace échantillon en deux parties: la région critique , contenant les valeurs de pour lesquelles vous rejetterez l'hypothèse nulle (et, ainsi, acceptez l'alternative ), et la région d'acceptation , contenant les valeurs de pour lesquelles vous ne rejetterez pas l'hypothèse nulle (et, par conséquent, rejetez l'alternative ). $\mathscr{X}$ $X=(X_1,\dots,X_n)$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$ $X$ $H_0$ $H_1$ $\mathscr{A}$ $X$ $H_0$ $H_1$

Formellement, une procédure de test peut être décrite comme une fonction mesurable , avec l'interprétation évidente en termes de décisions prises en faveur de chacune des hypothèses. La région critique est , et la région d'acceptation est . $\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$ $\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$ $\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Pour chaque procédure de test , nous définissons sa fonction de puissance par En d'autres termes, vous donne la probabilité de rejeter lorsque la valeur du paramètre est . $\varphi$ $\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

π_{φ} (θ) = Pr (φ (X) = 1 ∣ θ) = Pr (X \in C ∣ θ) .

$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$

π_{φ} (θ)

$\pi_\varphi(\theta)$

H_{0}

$H_0$

θ

$\theta$

La décision de rejeter lorsque est erronée . Donc, pour un problème donné, vous voudrez peut-être considérer uniquement les procédures de test pour lesquelles , pour chaque , dans lequel est un certain niveau de signification ( ). Notez que le niveau de signification est une propriété d'une classe de procédures de test. Nous pouvons décrire cette classe précisément comme $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $\varphi$ $\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$ $\theta\in\Theta_0$ $\alpha$ $0<\alpha<1$

T_{α} = {φ \in {0, 1}^{X} : π_{φ} (θ) \leq α, for every θ \in Θ_{0}} .

$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$

Pour chaque procédure de test individuelle , la probabilité maximale de rejeter erreur est appelée la taille de la procédure de test . $\varphi$ $\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$ $H_0$ $\varphi$

Il résulte directement de ces définitions qu'une fois que nous avons établi un niveau de signification , et donc déterminé la classe des procédures de test acceptables, chaque procédure de test de cette classe aura la taille , et inversement. En résumé, si et seulement si . $\alpha$ $\mathscr{T}_{\alpha}$ $\varphi$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$ $\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$

Zen
la source

Sensationnel. Merci pour tous les efforts que vous avez investis dans cette réponse.

asb

Je suis venu ici pour en apprendre davantage sur la taille par rapport au niveau et j'ai mieux compris les tests d'hypothèse dans l'ensemble. Excellente combinaison d'intuition et de notation.

gwg

Taille d'un test et niveau de signification

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