J'essaie de comprendre le lien entre la fonction de génération de moment et la fonction caractéristique. La fonction de génération de moment est définie comme:
En utilisant l'expansion en série de , Je peux trouver tous les moments de la distribution pour la variable aléatoire X.
La fonction caractéristique est définie comme:
Je ne comprends pas vraiment quelles informations le nombre imaginaire me donne le plus. Je vois que et donc nous n'avons pas seulement + dans la fonction caractéristique, mais pourquoi devons-nous soustraire des moments dans la fonction caractéristique? Quelle est l'idée mathématique?
Réponses:
Comme mentionné dans les commentaires, les fonctions caractéristiques existent toujours, car elles nécessitent l'intégration d'une fonction du module . Cependant, la fonction de génération de moments n'a pas besoin d'exister car elle nécessite en particulier l'existence de moments de n'importe quel ordre.1
Quand on sait que est intégrable pour tout , on peut définir pour chaque nombre complexe . On remarque alors que et .E[etX] t g(z):=E[ezX] z MX(t)=g(t) φX(t)=g(it)
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