Que signifie dire que ont une distribution normale «commune»?

Une question d'exercice demande

Soit rvs ayant une distribution normale commune avec . Calculez le coefficient de dépendance de la queue supérieure pour tous les .$X_1, X_2$$N(0,1)$$\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$$\rho \in [-1, 1]$

Qu'est-ce que cela signifie avec le fait qu'ils ont une distribution normale "commune"?

Ma première pensée a été qu'ils signifiaient que et étaient des variables réparties normales univariées . Cependant, si c'est vrai, la question n'a pas de sens. La dépendance à la queue ne peut pas être calculée.$X_1$$X_2$$N(0,1)$

Je suis donc laissé à croire que par distribution normale "commune", ils signifient la distribution normale bivariée?

Cela signifie que deux choses sont vraies.

Première:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

pour tous les nombres réels (c'est-à-dire que et ont la même distribution, souvent la sténographie équidistribuée est utilisée pour décrire cette condition).$t$$X_1$$X_2$

Seconde:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

pour certains nombres fixes et (ie la distribution de (*) est une distribution normale).$\mu$$\sigma$$X_1$

Cela n'implique pas que soit normal commun sans autres hypothèses. Si c'était prévu, ce n'est pas ce que l'auteur a réellement écrit.$(X_1, X_2)$

(*) Étant donné la première condition, cela implique que la distribution de est également une distribution normale.$X_2$

Je pense que "commun" ici signifie simplement que la distribution marginale est commune aux deux variables aléatoires (c'est-à-dire qu'elles ont la même distribution marginale). Bien que techniquement cela ne soit pas suffisant pour donner une distribution normale bivariée, je pense que l'auteur a probablement voulu cette forme:$\text{N}(0,1)$

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Cette spécification produirait des distributions marginales communes et . Si j'étais vous, je suggérerais de noter cette technicité, puis de partir du principe que les variables aléatoires sont normales à deux variables. Vous voudrez peut-être noter à nouveau le problème comme mise en garde une fois que vous aurez donné votre réponse.$X \sim \text{N}(0,1)$$Y \sim \text{N}(0,1)$

L'exercice est mal formulé. Je soupçonne que cela signifie que les deux variables aléatoires sont conjointement normales et ont une distribution commune. S'ils sont normaux séparément mais pas conjointement normaux, alors vous n'avez pas suffisamment d'informations pour répondre à la question. Si mes soupçons sont bons, alors l'exercice aurait dû dire qu'ils sont conjointement normaux.

Avoir une distribution "commune" signifie simplement qu'ils ont tous les deux la même distribution. Ainsi:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ pour donc chacun est normalement distribué et ils ont cette distribution normale en commun.$i=1,2,$