Pourquoi une chaîne de Markov finie, irréductible et apériodique avec une matrice P doublement stochastique a-t-elle une distribution limite uniforme?

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Le théorème est "Si une matrice de transition pour une chaîne de Markov irréductible avec un espace d'état fini S est doublement stochastique, sa mesure invariante (unique) est uniforme sur S."

Si une chaîne de Markov a une matrice de transition doublement stochastique, j'ai lu que ses probabilités limitantes constituent la distribution uniforme, mais je ne comprends pas très bien pourquoi.

J'ai essayé de trouver et de trouver une preuve compréhensible pour cela. Mais les preuves que je trouve glissent sur des détails que je ne comprends pas, comme la proposition 15.5 ici (pourquoi cela fonctionne-t-il d'utiliser simplement les vecteurs [1, ... 1]?) Quelqu'un pourrait-il m'indiquer (ou écrire) un plus preuve simple / détaillée?

(Bien que cela ne fasse pas partie de tout ce que je vais remettre à l'école, cela fait partie d'un cours que je prends donc je suppose que je vais le marquer avec des devoirs dans les deux cas.)

Christian Neverdal
la source
Perron-Frobenius.
cardinal
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@cardinal Pourquoi ne pas en faire une réponse avec un peu d'élaboration?
Michael R. Chernick
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Il vous manque les conditions nécessaires pour que la chaîne de Markov soit irréductible et non périodique. Ceux-ci peuvent être combinés à la condition que pour certainsn, chaque entrée de Pnest positif. Il y en a infiniment, alors disons que tous sont au moinsc. Vous pouvez limiter le taux de convergence en termes dec.
Douglas Zare
Tu as raison, Douglas. J'ai maintenant copié la proposition dans le PDF lié textuellement pour éviter toute confusion. Merci.
Christian Neverdal

Réponses:

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Supposons que nous ayons un M+1chaîne de Markov à l'état irréductible et apériodique, avec états mj, j=0,1,,M, avec une matrice de transition doublement stochastique (c.-à-d. i=0MPi,j=1 pour tous j). Alors la distribution limite estπj=1M+1.

Preuve

Notez d'abord que le πjest la solution unique pourπj=i=0MπiPi,j et i=0Mπi=1.

Essayer πi=1. Cela donneπj=i=0MπiPi,j=i=0MPi,j=1(car la matrice est doublement stochastique). Doncπi=1 est une solution au premier ensemble d'équations, et d'en faire une solution au second normaliser en divisant par M+1.

Par l'unicité, πj=1M+1.

Hypercube
la source
Cela ne répond pas à la question d'OP. OP ne suppose pas d'apériodicité. La preuve liée par OP répond cependant à la question. La raison pour laquelle le vecteur de ceux fonctionne est que, par définition,ν est une mesure invariante si νP=ν. Étant donné que les colonnes deP toute somme à un, [1,,1]P=[1,,1]. Le vecteur de l'un est donc une mesure invariante.
Ceph