Approximation de

Quelle est la meilleure façon d'approximer pour deux entiers donnés lorsque vous connaissez la moyenne , la variance , l'asymétrie et l'excès de kurtosis d'une distribution discrète , et il ressort clairement des mesures (non nulles) de la forme et qu'une approximation normale n'est pas appropriée?m , n μ σ 2 γ 1 γ 2 X γ 1 γ $Pr[n \leq X \leq m]$$m,n$$\mu$$\sigma^2$$\gamma_1$$\gamma_2$$X$$\gamma_1$$\gamma_2$

Habituellement, j'utiliserais une approximation normale avec correction entière ...

$Pr[(n - \text{½})\leq X \leq (m + \text{½})] = Pr[\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}] = \Phi(\frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma})$

... si l'asymétrie et l'excès de kurtosis étaient (plus proches de) 0, mais ce n'est pas le cas ici.

Je dois effectuer plusieurs approximations pour différentes distributions discrètes avec différentes valeurs de et . Je souhaite donc savoir s'il existe une procédure établie qui utilise et pour sélectionner une meilleure approximation que l'approximation normale.γ 2 γ 1 γ $\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1$$\gamma_2$

C'est une question intéressante, qui n'a pas vraiment de bonne solution. Il existe différentes manières de résoudre ce problème.

1. Supposons une distribution sous-jacente et des moments de correspondance - comme suggéré dans les réponses de @ivant et @onestop. Un inconvénient est que la généralisation multivariée peut ne pas être claire.

2. Approximations du point de selle. Dans cet article:

   Gillespie, CS et Renshaw, E. Une approximation améliorée du point de selle. Biosciences mathématiques , 2007.

   Nous envisageons de récupérer un fichier pdf / pmf lorsque seuls les premiers instants sont donnés. Nous avons constaté que cette approche fonctionne lorsque l'asymétrie n'est pas trop importante.

3. Extensions Laguerre:

   Mustapha, H. et Dimitrakopoulosa, R. Expansions généralisées de Laguerre de densités de probabilité multivariées avec moments . Ordinateurs et mathématiques avec applications , 2010.

   Les résultats de cet article semblent plus prometteurs, mais je ne les ai pas codés.

Ajuster une distribution aux données en utilisant les quatre premiers moments est exactement ce pour quoi Karl Pearson a conçu la famille Pearson de distributions de probabilités continues (la probabilité maximale est beaucoup plus populaire de nos jours bien sûr). Cela devrait être simple pour s'adapter au membre concerné de cette famille, puis utilisez le même type de correction de continuité que vous donnez ci-dessus pour la distribution normale.

Je suppose que vous devez avoir une taille d'échantillon vraiment énorme? Estimations Sinon échantillons de dissymétrie et surtout kurtosis sont souvent désespérément imprécis, tout en étant très sensible à outliers.In tous les cas, je vous recommande fortement de jeter un oeil à L-moments comme une alternative qui ont plusieurs avantages par rapport aux moments ordinaires qui peuvent être avantageux pour ajuster les distributions aux données.

Vous pouvez essayer d'utiliser la distribution normale asymétrique et voir si l'excès de kurtosis pour vos ensembles de données particuliers est suffisamment proche de l'excès de kurtosis de la distribution pour une asymétrie donnée. Si c'est le cas, vous pouvez utiliser la distribution normale asymétrique cdf pour estimer la probabilité. Sinon, vous devrez trouver une transformation vers le pdf normal / skew similaire à celle utilisée pour la distribution normale de skew, ce qui vous donnerait un contrôle sur l'asymétrie et l'excès de kurtosis.