Trouver les densités marginales de

Comme le titre l'indique, je cherche les densités marginales de

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Jusqu'à présent, j'ai trouvé que était . J'ai compris cela en convertissant en coordonnées polaires et en intégrant sur , c'est pourquoi je suis coincé sur la partie des densités marginales. Je sais que , mais je ne sais pas comment résoudre cela sans obtenir une grosse intégrale désordonnée, et je sais que la réponse n'est pas ' t censé être une grande intégrale désordonnée. Est-il possible de trouver à la place , puis de prendre pour trouver $c$ $\frac{3}{2 \pi}$ $f(x,y)$ $drd\theta$ $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ $F(x,y)$ $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$ ? Cela semble être la façon intuitive de le faire, mais je ne trouve rien dans mon manuel qui énonce ces relations, donc je ne voulais pas faire de fausses hypothèses.

self-study marginal multivariable Jarrod
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@kwak Je ne sais pas pourquoi changer le titre était nécessaire ... la balise "devoirs" devrait être suffisante.

Shane

@Shane:> ok est revenu à l'original.

user603

Réponses:

La géométrie aide ici. Le graphique de est un dôme sphérique de rayon unitaire. (Il s'ensuit immédiatement que son volume est la moitié de celui d'une sphère unitaire, , d'où .) Les densités marginales sont données par des zones de sections verticales traversant cette sphère. Évidemment, chaque section est un demi-cercle: pour obtenir la densité marginale, trouver son rayon en fonction de la variable restante et utiliser la formule pour l'aire d'un cercle. Normaliser la fonction univariée résultante pour avoir une surface unitaire la transforme en densité. $f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

whuber
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Ahh, ça me revient en quelque sorte du calcul multivariable. Je me souviens d'avoir fait des problèmes comme ça. Comment trouver le rayon en fonction de la variable restante? Il semble toujours que je vais avoir une sorte d'intégrale de monstre.

Jarrod

Soit la variable restante . Alors décrit la région sur laquelle vous devez vous intégrer. De toute évidence, le rayon est égal à , d'où la section transversale est égale à C'est une formule assez simple :-). (Rappelez-vous, le thème ici est la géométrie, pas le calcul ...)

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

whuber

Oh, c'est vrai. Cela m'a traversé l'esprit, mais cela semblait trop simple. Je suppose que j'étais déterminé à ce que ce soit compliqué. Merci!

Jarrod

J'ai oublié de demander: comment c figure-t-il dans tout cela?

Jarrod

À mon avis, la réponse de Whuber mérite d'être votée pour deux raisons. Premièrement, il répond à la question posée, deuxièmement comme modèle pour la façon dont nous pourrions à l'avenir traiter les questions de devoirs (explicitement énoncées): ce type de réponses contribue en fait au processus d'apprentissage et pourrait être une meilleure politique en matière de devoirs que celle adoptée. à MO / SO.

user603