Somme limite des variations gamma iid

Soit une séquence de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec la fonction de densité de probabilité; Montrez que$X_1,X_2,\ldots$

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$$ $$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$$

Ce que j'ai tenté

À première vue, j'ai pensé qu'il devrait utiliser l'inégalité de Chebyshev car la question demande de montrer une borne inférieure $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . Cependant, j'ai pensé au signe limite qui indique clairement que le problème peut être en quelque sorte lié au théorème central de limite (CLT)

Soit $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

$$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$$

Maintenant, en utilisant CLT, pour les grands $n$ , $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Ou,

$$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$$

Maintenant,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$$

Puisque $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , donc de $(1)$ ,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$$

Ai-je raison?

Vous aviez raison que l'inégalité de Chebyshev fonctionnera. Il fournit une limite quelque peu grossière mais efficace qui s'applique à de nombreuses séquences de ce type, révélant que la caractéristique cruciale de cette séquence est que la variance des sommes partielles croît au plus linéairement avec .$n$

Considérons donc le cas extrêmement général de toute séquence de variables non corrélées avec des moyennes et des variances finies Soit la somme des premiers d'entre eux,$X_i$$\mu_i$$\sigma_i^2.$$Y_n$$n$

$$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$$

Par conséquent, la moyenne de est$Y_n$

$$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$$

et sa variance est

$$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$$

Supposons que croisse au plus linéairement avec :$s_n^2$$n$ c'est-à-dire qu'il existe un nombre tel que pour tout suffisamment grand Soit (encore à déterminer), notez que$\lambda\gt 0$$n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$$k\gt 0$

$$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$$

et appliquer l'inégalité de à pour obtenir$Y_n$

$$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$$

Les deux premières inégalités sont fondamentales: elles suivent car chaque événement successif est un sous-ensemble du précédent.

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Dans le cas considéré, où sont indépendants (et donc non corrélés) avec des moyennes et des variances nous avons et$X_i$$\mu_i=3$$\sigma_i^2=3,$$m_n=3n$

$$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$$

d'où nous pouvons prendre aussi petit que L'événement de la question correspond à où$\lambda$$\sqrt{3}.$$3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$$k=3,$

$$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$$

QED.

Comme alternative à l'excellente réponse de whuber, je vais essayer de dériver la limite exacte de la probabilité en question. L'une des propriétés de la distribution gamma est que les sommes de variables aléatoires gamma indépendantes avec le même paramètre taux / échelle sont également des variables aléatoires gamma de forme égale à la somme des formes de ces variables. (Cela peut être facilement démontré en utilisant les fonctions génératrices de la distribution.) Dans le cas présent, nous avons , donc nous obtenons la somme:$X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

$$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$$

On peut donc écrire la probabilité exacte d'intérêt en utilisant le CDF de la distribution gamma. Soit le paramètre de forme et l’argument d’intérêt, on a:$a = 3n$$x = 3(n-\sqrt{n})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Pour trouver la limite de cette probabilité, nous notons d'abord que nous pouvons écrire le deuxième paramètre en termes de premier comme où . En utilisant un résultat montré dans Temme (1975) (Eqn 1.4, p. 1109), nous avons l'équivalence asymptotique:$x = a + \sqrt{2a} \cdot y$$y = -\sqrt{3/2}$

$$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$$

En utilisant l'approximation de Stirling et la définition limite du nombre exponentiel, on peut également montrer que:

$$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$$

En substituant les valeurs pertinentes, on obtient donc:

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Cela nous donne la limite:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$$

Cela nous donne la limite exacte de la probabilité d'intérêt, qui est supérieure à la moitié.