Un pdf est généralement écrit comme , où le minuscule est traité comme une réalisation ou un résultat de la variable aléatoire qui a ce pdf. De même, un cdf est écrit comme , qui a la signification . Cependant, dans certaines circonstances, telles que la définition de la fonction de score et cette dérivation selon laquelle le cdf est uniformément distribué , il semble que la variable aléatoire soit connectée à son propre pdf / cdf; ce faisant, nous obtenons une nouvelle variable aléatoire ou . Je ne pense pas que nous puissions appeler cela un pdf ou un cdf car c'est maintenant une variable aléatoire elle-même, et dans ce dernier cas, l '"interprétation" me semble absurde.
De plus, dans ce dernier cas ci-dessus, je ne suis pas sûr de comprendre l'énoncé "le cdf d'une variable aléatoire suit une distribution uniforme". Le cdf est une fonction, pas une variable aléatoire, et n'a donc pas de distribution. Au contraire, ce qui a une distribution uniforme est la variable aléatoire transformée en utilisant la fonction qui représente son propre cdf, mais je ne vois pas pourquoi cette transformation est significative. Il en va de même pour la fonction de score, où nous connectons une variable aléatoire à la fonction qui représente sa propre log-vraisemblance.
Cela fait des semaines que je me défonce le cerveau en essayant de trouver une signification intuitive derrière ces transformations, mais je suis coincé. Toute idée serait grandement apprécié!
Réponses:
Comme vous le dites, toute fonction (mesurable) d'une variable aléatoire est elle-même une variable aléatoire. Il est plus facile de penser à et comme "n'importe quelle ancienne fonction". Ils ont juste de belles propriétés. Par exemple, si est un RV exponentiel standard, alors il n'y a rien de particulièrement étrange dans la variable aléatoire Il se trouve que . Le fait que a une distribution uniforme (étant donné que est un RV continu) peut être vu dans le cas général en dérivant le CDF de .F ( x ) X Y = 1 - e - X Y = F X ( X ) Y X Yf(x) F(x) X
Qui est clairement le CDF d'une variable aléatoire . Remarque: Cette version de la preuve suppose que est strictement croissant et continu, mais il n'est pas trop difficile de montrer une version plus générale.F X ( x )U(0,1) FX(x)
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Une transformée d'une variable aléatoire par une fonction mesurable T : X ⟶ Y est une autre variable aléatoire Y = T ( X ) dont la distribution est donnée par la transformée de probabilité inverse P ( Y ∈ A ) = P ( X ∈ { x ;X T:X⟶Y Y=T(X)
pour tous les ensembles A tels que { x ;
[Réponse tapée pendant que @whuber et @knrumsey tapaient leurs réponses respectives!]
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