Qu'est-ce que cela signifie avec l' algèbre générée par une variable aléatoire?

Souvent, au cours de mon (auto) étude des statistiques, j'ai rencontré la terminologie " -algèbre générée par une variable aléatoire". Je ne comprends pas la définition sur Wikipédia , mais surtout je ne comprends pas l'intuition. Pourquoi / quand avons-nous besoin de algèbres générées par des variables aléatoires? Quelle est leur signification? Je sais ce qui suit:$\sigma$$\sigma-$

• une -algèbre sur un ensemble est une collection non vide de sous-ensembles de qui contient , est fermée sous complément et sous union dénombrable.$\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• nous introduisons -algebras pour construire des espaces de probabilité sur des espaces échantillons infinis. En particulier, si est infiniment infini, nous savons qu'il peut exister des sous-ensembles non mesurables (ensembles pour lesquels nous ne pouvons pas définir de probabilité). Ainsi, nous ne pouvons pas simplement utiliser l'ensemble de puissance de comme ensemble d'événements . Nous avons besoin d'un ensemble plus petit, qui est encore assez grand pour que nous puissions définir la probabilité d'événements intéressants, et nous pouvons parler de convergence d'une séquence de variables aléatoires.$\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

En bref, je pense avoir une bonne compréhension intuitive des algèbres. Je voudrais avoir une compréhension similaire pour les algèbres générées par des variables aléatoires: définition, pourquoi nous en avons besoin, intuition, un exemple ...$\sigma-$$\sigma-$

Considérons une variable aléatoire . Nous savons que n'est rien d'autre qu'une fonction mesurable de dans , où sont les ensembles Borel de la ligne réelle. Par définition de la mesurabilité, nous savons que nous avons$X$$X$$\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$$\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$$\mathcal{B}(\mathbb{R})$

Mais en pratique, les pré-images des ensembles de Borel peuvent ne pas être toutes de mais au contraire, elles peuvent en constituer un sous-ensemble beaucoup plus grossier. Pour voir cela, définissons$\mathcal{A}$

En utilisant les propriétés des pré-images, il n'est pas trop difficile de montrer que est une algèbre sigma. Il s'ensuit également immédiatement que , donc est une sous-sigma-algèbre. De plus, par les définitions, il est facile de voir que le mappage est mesurable. est en fait la plus petite algèbre sigma qui fait de une variable aléatoire comme toutes les autres algèbres sigma de ce type incluraient à tout le moins$\mathcal{\Sigma}$$\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$$\mathcal{\Sigma}$$X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$$\mathcal{\Sigma}$$X$$\mathcal{\Sigma}$ X Σ X. Pour la raison pour laquelle nous avons affaire à préimages de la variable aléatoire , nous appelons sigma-algèbre induite par la variable aléatoire .$X$$\mathcal{\Sigma}$$X$

Voici un exemple extrême: considérons une variable aléatoire constante , c'est-à-dire . Alors est égal à ou selon que . L'algèbre sigma ainsi générée est triviale et en tant que telle, elle est définitivement incluse dans .$X$$X(\omega) \equiv \alpha$$X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$$\Omega$$\varnothing$$\alpha \in B$$\mathcal{A}$

J'espère que cela t'aides.