La cohérence est évidemment un estimateur de propriété naturel et important, mais y a-t-il des situations où il peut être préférable d'utiliser un estimateur incohérent plutôt que cohérent?
Plus précisément, existe-t-il des exemples d'estimateur incohérent qui surpasse un estimateur cohérent raisonnable pour tout fini (par rapport à une fonction de perte appropriée)?
estimation
consistency
MånsT
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Réponses:
Cette réponse décrit un problème réaliste où un estimateur cohérent naturel est dominé (surperformé pour toutes les valeurs de paramètres possibles pour toutes les tailles d'échantillon) par un estimateur incohérent. Elle est motivée par l'idée que la cohérence est la mieux adaptée aux pertes quadratiques, donc l'utilisation d'une perte s'écartant fortement de celle-ci (comme une perte asymétrique) devrait rendre la cohérence presque inutile dans l'évaluation des performances des estimateurs.
Supposons que votre client souhaite estimer la moyenne d'une variable (supposée avoir une distribution symétrique) à partir d'un échantillon iid , mais ils sont opposés à (a) la sous-estimer ou (b) à surestimer fortement il.(x1,…,xn)
Pour voir comment cela pourrait fonctionner, adoptons une fonction de perte simple, sachant qu'en pratique la perte peut différer de celle-ci quantitativement (mais pas qualitativement). Choisissez des unités de mesure de sorte que soit la plus grande surestimation tolérable et définissez la perte d'une estimation t lorsque la moyenne vraie est μ égale à 0 chaque fois que μ ≤ t ≤ μ + 1 et égale à 1 sinon.1 t μ 0 μ≤t≤μ+1 1
Les calculs sont particulièrement simples pour une famille de distributions normales avec moyenne et variance σ 2 > 0 , pour alors la moyenne de l'échantillon ˉ x = 1μ σ2>0 a unedistributionNormale(μ,σ2/n). La moyenne de l'échantillon est un estimateur cohérent deμ, comme cela est bien connu (et évident). L' écritureΦpour la CDF normale standard, la perte attendue de la moyenne deéchantillon est égal1/2+Φ(-√x¯=1n∑ixi ( μ , σ2/ n) μ Φ :une/deuxprovient de la probabilité50% que la moyenne échantillon sousestimer la moyenne vraie etΦ(- √Une / 2 + Φ ( - n--√/ σ) 1 / 2 provient de la possibilité de surestimer la vraie moyenne de plus de1.Φ ( - n--√/ σ) 1
La perte attendue de est égale à la zone bleue sous ce PDF normal standard. La zone rouge indique la perte attendue de l'estimateur alternatif ci-dessous. Ils diffèrent en remplaçant la zone bleue continue entre - √X¯ et0par la plus petite zone rouge solide entre √- n--√/ (2σ) 0 et √n--√/ (2σ) . Cette différence augmente à mesure quenaugmente.n--√/ σ n
Un autre estimateur donné par a une perte prévue de 2 Φ ( - √X¯+ Une / deux . La symétrie et l'unimodalité des distributions normales impliquent que sa perte attendue est toujours meilleure que celle de la moyenne de l'échantillon. (Cela rend l'échantillon moyenirrecevablepour cette perte.)effet, la perte attendue de la moyenne deéchantillon a une limite inférieure de1/2alors que des alternatives à converge0commencroît. Cependant, l'alternative est manifestement incompatible: quencroît, il converge en probabilitéμ+1/2≠μ.2 Φ ( - n--√/ (2σ) ) 1 / 2 0 n n μ + une / deux ≠ μ
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