Supposons que nous ayons variables aléatoires indépendantes , , avec des moyens finis et des variances , \ ldots , \ sigma_N ^ 2 . Je recherche des bornes sans distribution sur la probabilité que tout X_i \ neq X_N soit plus grand que tous les autres X_j , j \ neq i .
En d'autres termes, si pour simplifier nous supposons que les distributions de sont continues (telles que ), je cherche des bornes sur:
Si , nous pouvons utiliser l'inégalité de Chebyshev pour obtenir:
Je voudrais trouver des limites simples (pas nécessairement strictes) pour le N général , mais je n'ai pas pu trouver de résultats (esthétiquement) agréables pour le N général .
Veuillez noter que les variables ne sont pas supposées être iid. Toutes suggestions ou références à des travaux connexes sont les bienvenues.
Mise à jour: rappelez-vous que par hypothèse, . Nous pouvons alors utiliser la borne ci-dessus pour arriver à:
Cela implique:
Cela implique à son tour:
Je me demande maintenant si cette borne peut être améliorée à quelque chose qui ne dépend pas de façon linéaire sur . Par exemple, la valeur suivante est-elle vérifiée:
Et sinon, quel pourrait être un contre-exemple?
Réponses:
Vous pouvez utiliser l'inégalité multivariée de Chebyshev.
Cas de deux variables
Pour une seule situation, vs , j'arrive à la même situation que le commentaire de Jochen le 4 novembre 2016X1 X2
1) Si alorsμ1<μ2 P(X1>X2)≤(σ21+σ22)/(μ1−μ2)2
(et je m'interroge également sur votre dérivation)
Dérivation de l'équation 1
Cas multivarié
L'inégalité dans l'équation (1) peut être transformée en un cas multivarié en l'appliquant à plusieurs variables transformées pour chaque (notez qu'elles sont corrélées).(Xn−Xi) i<n
Une solution à ce problème (multivariée et corrélée) a été décrite par I. Olkin et JW Pratt. «A Multivariate Tchebycheff Inequality» dans Annals of Mathematical Statistics, volume 29 pages 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720
Remarque le théorème 2.3
dans laquelle le nombre de variables, , et .p t=∑k−2i u=∑ρij/(kikj)
Le théorème 3.6 fournit une limite plus stricte, mais est moins facile à calculer.
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Une borne plus nette peut être trouvée en utilisant l' inégalité multivariée de Cantelli . Cette inégalité est le type que vous avez utilisé auparavant et qui vous a fourni la limite qui est plus nette que .(σ21+σ22)/(σ21+σ22+(μ1−μ2)2) (σ21+σ22)/(μ1−μ2)2
Je n'ai pas pris le temps d'étudier l'article en entier, mais de toute façon, vous pouvez trouver une solution ici:
AW Marshall et I. Olkin «Une inégalité unilatérale du type Chebyshev» dans Annals of Mathematical Statistics volume 31 pp. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913
(note ultérieure: cette inégalité est pour des corrélations égales et pas une aide suffisante. Mais de toute façon votre problème, pour trouver la borne la plus nette, est égal à l'inégalité Cantelli multivariée plus générale. Je serais surpris si la solution n'existe pas)
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J'ai trouvé un théorème qui pourrait vous aider et j'essaierai de l'adapter à vos besoins. Supposons que vous ayez:
Ensuite par l'inégalité de Jensen (puisque exp (.) Est une fonction convexe), on obtient:
Maintenant, pour vous devez brancher quelle que soit la fonction de génération de moment de votre variable aléatoire (car ce n'est que la définition du mgf). Ensuite, après l'avoir fait (et potentiellement simplifiant votre terme), vous prenez ce terme et prenez le journal et le divisez par t pour obtenir une déclaration sur le terme . Ensuite, vous pouvez choisir t avec une valeur arbitraire (mieux pour que le terme soit petit pour que la borne soit serrée).exp(t⋅Xi Xi E(max1≤i≤nXi)
Ensuite, vous avez une déclaration sur la valeur attendue du maximum sur n rvs. Pour obtenir maintenant une déclaration sur la probabilité que le maximum de ces VR s'écarte de cette valeur attendue, vous pouvez simplement utiliser l'inégalité de Markov (en supposant que votre RV n'est pas négative) ou une autre RV, plus spécifique, s'appliquant à votre RV particulier.
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