Quelle est la différence entre la fonction de génération de moment et la fonction de génération de probabilité?

Je suis confus entre les deux termes «fonction de génération de probabilité» et «fonction de génération de moment». En quoi ces termes diffèrent-ils?

La fonction de génération de probabilité est généralement utilisée pour les variables aléatoires (non négatives) à valeur entière, mais n'est en réalité qu'un reconditionnement de la fonction de génération de moment. Donc, les deux contiennent les mêmes informations.

Soit une variable aléatoire non négative. Ensuite (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) la fonction de génération de probabilité est définie comme G ( z ) = E z X et la fonction de génération de moment est M X ( t ) = E e t X Définissez maintenant log z = t de sorte que e t = z . Alors G ( z ) = E z X = $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ Donc, pour conclure, la relation est simple: G ( z ) = M X ( log z $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl écrit dans un commentaire à ce sujet ma formule "... ce qui est vrai, sauf quand elle est fausse", j'ai donc besoin d'avoir quelques commentaires. Bien sûr, l'égalité suppose que les deux sont définis et un domaine pour la variable $G(z) = M_X(\log z)$$z$besoin d'être donné. Je pensais que le message était assez clair sans ces formalités, mais oui, parfois je suis trop informel. Mais il y a un autre point: oui, la fonction de génération de probabilité est principalement utilisée pour les fonctions de masse de probabilité (argument non négatif), d'où vient le nom. Mais il n'y a rien dans la définition qui suppose cela, il peut aussi bien être utilisé pour n'importe quelle variable aléatoire non négative! Par exemple, prenons la distribution exponentielle avec le taux 1, nous pouvons calculer

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$

Définissons d'abord les deux, puis spécifions la différence.

1) Dans la théorie des probabilités et les statistiques, la fonction de génération de moment (mgf) d'une variable aléatoire à valeur réelle est une spécification alternative de sa distribution de probabilité.

2) En théorie des probabilités, la fonction de génération de probabilité (pgf) d'une variable aléatoire discrète est une représentation en série de puissance (la fonction de génération) de la fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Comme le souligne @kjetilbhalvorsen, le pgf s'applique aux variables aléatoires non négatives plutôt qu'aux seules discrètes. Ainsi, l'entrée actuelle de Wikipédia dans la fonction de génération de probabilité a une erreur d'omission et devrait être améliorée.